Mòdul d'un nombre complex

Sigui un nombre complex z = a + ib, es defineix el mòdul del nombre complex com el nombre real positiu <math>|z| = \sqrt{a^2 + b^2 }= \sqrt{z\overline z}</math> (veure Arrel quadrada i Conjugat).

El nom de mòdul fou creat per Jean-Robert Argand en el seu Assaig sobre una manera de representar les quantitats imaginàries amb construccions geomètriques.

Si es representa el nombre complex com un vector que va de l'origen fins a un punt de pla que té per ordenada la part real del nombre complex i per abscissa la part imaginaria, el mòdul del vector és el mòdul del nombre complex.

Propietats principals

El mòdul verifica les següents propietats:

1. <math> {\left| z \right|} \ge 0\,</math>
2. <math> {\left| z \right|} = 0 \Leftrightarrow z = 0\,</math>
3. <math> {\left| z_1 . z_2 \right|} = \left| z_1 \right| . \left| z_2 \right|\,</math>
4. <math> \!{\left| {{z_1} \over {z_2}} \right|} = Plantilla:\left, \; si \; {z_2} \ne {0}\,</math>
5. <math> {\left| z_1 + z_2 \right|} \le {\left| z_1 \right| + \left| z_2 \right|}\,</math> : desigualtat triangular
6. <math> \!\!{\left| z_1 - z_2 \right|} \ge {\left| {\left| z_1 \right| - \left| z_2 \right|}\right|}\,</math>

Si s'interpreta z com un punt en el pla, és a dir si es considera la seva imatge llavors, |z| és la distància de la imatge de z a l'origen.

És útil interpretar l'expressió |x - y| com la distància entre els dos nombres complexos x i yen el pla complex.

L'applicació: <math>\mathbb C\times \mathbb C \rightarrow \mathbb R_+</math>, <math>(z_1, z_2)\mapsto |z_1-z_2|</math> és una distància.

Altres propietats

Per a tot complex z, <math>|\overline{z}|=|z|=|-\overline{z}|=|-z|</math>.

Per qualsevol parella de reals x i y, <math>|x|\leq \sqrt{x^2+y^2}=|x+iy|</math> i <math>|y|\leq \sqrt{x^2+y^2}</math> (|x| i |y| són els valors absoluts respectivament de x i de y)

Cas d'igualtat en la desigualtat triangular: Per a tots els nombres complexos z i z', |z+z'|=|z|+|z'| si només si <math>\overline{z}z'\in\mathbb R_+</math>, si i només si existeix un real positiu <math>\lambda</math> tal que <math>z'=\lambda z</math> o <math>z=\lambda z'</math> i si i només si les imatges de z i z' pertanyen a una mateixa semirecta d'origen O.

Sia n un nombre natural no nul, i <math>z_1, z_2, \cdots, z_n</math> n nombres complexos. Es té <math>|z_1+z_2+\cdots+z_n|\leq |z_1|+|z_2|+\cdots+|z_n|</math> (desigualtat triangular generalitzada). Hi ha igualtat si i només si les imatges <math>M_k</math> dels nombres complexos <math>z_k</math> pertanyen a una mateixa semirecta d'origen O.

El conjunt <math>\mathbb U</math> dels nombres complexos de mòdul 1 és un subgrup de <math>\left(\mathbb C^*, \times\right)</math>

L'aplicació <math>z\mapsto |z|</math> de <math>\left(\mathbb C^*, \times\right)</math> en <math>\left(\mathbb R^*, \times\right)</math> és un morfisme de grup. El seu nucli no és altre que el conjunt <math>\mathbb U</math>.

S'anomena <math>\mathbb U</math> el grup de les unitats.