Demostració que e és irracional
En matemàtica, el desenvolupament en sèrie del nombre e
- <math>e = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!}</math>
pot ser utilitzat per a provar que e és un nombre irracional.
Suposem per a l'absurd que sigui e = a/b, per a uns enters positius a i b.
Considerem el nombre
- <math>x := b\,!\left(e - \sum_{n = 0}^{b} \frac{1}{n!}\right)=b\,!\left(\frac{a}{b} - \sum_{n = 0}^{b} \frac{1}{n!}\right).</math>
Mostrem que la suposició per a l'absurd
implica simultàniament que <math> 0<x<1 </math> i que <math> x </math> és un nombre enter.
Això es impossible, i aquesta contradicció
estableix la irracionalitat de "e".
- Per a veure que x és un nombre enter, notem que
<math>x\, </math> <math>= b\,!\left(\frac{a}{b} - \sum_{n = 0}^{b} \frac{1}{n!}\right)= a(b - 1)! - b\,!\cdot \sum_{n = 0}^{b} \frac{1}{n!}</math>
- Ara, per a tot n tal que <math>0\leq n\leq b </math>, hom veu que <math>b\,!</math> és divisible per a <math>n\,!</math>, ja que
<math>b\,!\cdot \sum_{n = 0}^{b} \frac{1}{n!}</math> és un nombre enter positiu. Com a conseqüència, puix que <math>a\cdot(b-1)!\in{\mathbb N}</math> també, <math>x\in{\mathbb Z}</math>, és a dir, x és un nombre enter.
- Per a veure que x és un nombre positiu inferior a 1, notem que <math>x=b\,!\sum_{n = b+1}^{\infty} \frac{1}{n!}\quad </math> car
<math>x= \frac{1}{b+1} + \frac{1}{(b+1)(b+2)} + \frac{1}{(b+1)(b+2)(b+3)} + \cdots </math>
<math>< \frac{1}{b+1} + \frac{1}{(b+1)^2} + \frac{1}{(b+1)^3} + \cdots = \frac{1}{b} \le 1</math>
- Aquí, la darrera suma és una sèrie geomètrica. Puix que no existeixen nombres enters positius més petits que 1, hem obtingut una contradicció. Això acaba la demostració.
