Nombre e

La constant matemàtica e (anomenada de vegades constant d'Euler, en honor del matemàtic suís Leonhard Euler o constant de Napier, en honor del matemàtic escocès John Napier que va introduir els logaritmes) és la base dels logaritmes naturals i un dels nombres reals més importants.

Així com el nombre π és considerat el nombre per excel·lència de la geometria i el nombre i ho és en l'anàlisi complexa, el nombre e està considerat el nombre per excel·lència del càlcul.

El nombre e intervé en càlculs com podria ser la velocitat en el buidat d'un dipòsit d'aigua, el gir d'un penell enfront d'una ràfega de vent o el moviment del sistema amortidor d'un automòbil. El nombre e també és present en altres camps de la ciència i la tècnica com l'electrònica.

El nombre e és igual a exp(1), on exp és la funció exponencial. Correspon al límit matemàtic

<math>e = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n</math>

Aquest límit existeix, ja que la successió <math>n\mapsto \left(1+\frac{1}{n}\right)^n</math> és creixent i limitada per sobre. Això dóna aproximadament e = 2,71828 18284 59045 23536 02874 ...

El nombre e es pot definir també mitjançant la sèrie infinita

<math>e = \sum_{n=0}^\infty {1 \over n!} = {1 \over 0!} + {1 \over 1!}

 + {1 \over 2!} + {1 \over 3!}
 + {1 \over 4!} + \cdots</math>

on n! és el factorial de n. Aquesta sèrie convergeix puix que hom ha

<math>1 + 1 + {1 \over 2!} + {1 \over 3!} + {1 \over 4!} + \cdots \le 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \cdots = 3,</math>

és a dir, el desenvolupament en sèrie de e és majorat mitjançant una sèrie geomètrica convergent, en tant que de raó 1/2.

Finalment, es pot considerar e com a l'única solució positiva x de l'equació integral

<math>\int_{1}^{x} \frac{1}{t} \, dt = {1}.</math>

Es pot provar que aquestes definicions són equivalents.

La funció exponencial exp(x) és important ja que és l'única (a menys de multiplicació per a constants) funció que és igual a la seva derivada, i s'usa habitualment per a modelitzar processos de creixement o decreixement.

La fracció contínua de e conté una estructura interessant, com es mostra a continuació:

<math> e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, 1, 12...] \,</math>

La següent expressió, la identitat d'Euler, que relaciona les cinc constants més importants en matemàtiques, va ser descoberta per Leonhard Euler:

<math>e^{i\pi}+1=0 \,\!</math>

Aquesta és un cas particular (amb x = 0 i y = π) de la fórmula d'Euler:

<math>e^{x+i \cdot y} = e^x \cdot (\cos y + i \cdot \sin y )</math>

vàlida per a tot <math>x,y\in{\mathbb R}</math> (i de fet per a tot <math>x,y\in{\mathbb C}</math>).

És conegut que e és irracional i transcendent.

Asímptotes

El nombre e surt de manera natural en diferents problemes que involucren a les asímptotes. Un exemple és la fórmula de Stirling que es fa servir per l'anàlisi asimptòtic de la funció factorial, on els dos nombres e i π es troben involucrats:

<math>n! \sim \sqrt{2\pi n}\, \left(\frac{n}{e}\right)^n.</math>

Una conseqüència particular és:

<math>e = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}</math>.

Implementació en informàtica

En la cultura contemporània a Internet, individus i organitzacions sovint retre homenatge al nombre e.

Per exemple, en la presentació de les OPI de Google, el 2004, en lloc d'una quantitat típica d'anada i nombre de diners, la companyia va anunciar la seva intenció de pujar 2718281828 $, que és el correu mil milions de dòlars del dòlar més proper. Google també va ser responsable d'una tanca publicitària [18] que va aparèixer al cor de Silicon Valley, i més tard a Cambridge, Massachusetts, Seattle, Washington i Austin, Texas.

Es pot realitzar una aproximació del nombre e amb n termes de la seqüència de Taylor citada. En C++ tenim un codi com el següent:

<source lang="cpp">

1. include <iostream>

using namespace std;

double aproxima_e(int n) {

   //funció que aproxima el nombre e amb la seqüència de taylor:
   // suma 1/fact(i) des de i=0 fins n
   //no cal fer servir la funció factorial en cada denominador.
   if(n == 0) return 0;
   double facti = 1;  //ini a 1: factorial(0). necessitem que sigui double per evitar errors de sobreeiximent
   double s = 1;
   for(int i = 1; i < n; ++i) {
       facti *= i;        
       s += 1/double(facti);      
   }
   
   return s;

}

int main() {

   cout.setf(ios::fixed);
   cout.precision(10);

   int n;
   while(cin >> n) {
       cout << "Amb " << n << " terme(s) obtenim " << aproxima_e(n) << endl;
   }

} </source>