Derivada de Gâteaux
En matemàtiques, la derivada de Gâteaux és una generalització del concepte de derivada direccional. S'anomena així en honor a René Gâteaux, un matemàtic francés que va morir jove a la Segona Guerra Mundial, es defineix per a espais vectorials topològics localment convexes, en oposició a la derivada en espais de Banach, la derivada de Fréchet. Totes dues derivades, sovint es fan servir per a formalitzar la derivada funcional que es fa servir habitualment en física, en particular en Teoria quàntica de camps. A diferència d'altres formes de derivada, la derivada de Gâteaux d'una funció pot ser no lineal.
Definició
Suposeu que <math>X</math> i <math>Y</math> són espais vectorials topològics localment convexes (per exemple, espais de Banach), <math>U\subset X</math> és obert, i
- <math>F:X\rightarrow Y.</math>
La derivada de Gâteaux <math>dF(u,\psi)</math> de <math>F</math> a <math>u\in U</math> en la direcció <math>\psi\in X</math> es defineix com
- <math>
dF(u,\psi)=\lim_{\tau\rightarrow 0}\frac{F(u+\tau \psi)-F(u)}{\tau}=\left.\frac{d}{d\tau}F(u+\tau \psi)\right|_{\tau=0} </math>
Si el límit existeix. Si el límit existeix per a tot <math>\psi \in X</math>, llavors es diu que <math>F</math> té derivada de Gâteaux a <math>u\in U</math>.
Es diu que <math>F</math> és contínuament derivable en <math>U</math> si
- <math>dF:U\times X \rightarrow Y</math>
es contínua.
Propietats
Si la derivada de Gâteaux existeix, és única.
Per a cada <math>u\in U</math> la derivada de Gâteaux és un operador
- <math>dF(u,\cdot):X\rightarrow Y.</math>
Aquest operador és homogeni, de forma que
- <math>dF(u,\alpha\psi)=\alpha dF(u,\psi)\,</math>,
però, en general, no és additiu, i, per tant, no sempre és lineal, a diferència de la derivada de Fréchet.
En canvi, per a X i Y espais de Banach, si se suposa que la derivada de Gâteaux dF(u, ψ) de F és contínua i lineal a ψ per a tot u ∈ U, i dF és una aplicació contínua d'espais mètrics U → L(X, Y), llavors F és Fréchet derivable. Aquest criteri és anàleg al de derivabilitat d'una funció a partir de la continuïtat de les seves derivades parcials.
Si F és Fréchet derivable, llavors, també és Gâteaux derivable, i les seves derivades de Fréchet i de Gâteaux concorden.
Exemple
Sia <math>X</math> l'espai de Hilbert de les funcions de quadrat integrables sobre un conjunt Lebesgue mesurable <math>\Omega</math> en l'espai euclidià RN. El funcional
- <math>E:X\rightarrow \mathbb{R}</math>
Donat per
- <math> E(u)=\int_\Omega F\left(u(x) \right)dx </math>
on <math>F</math> és una funció real d'una variable real amb <math>F'=f\,</math> i <math>u</math> està definit en <math>\Omega</math> amb valors reals, té per derivada de Gâteaux
- <math>
dE(u,\psi)=(f(u),\psi)\,. </math>
En efecte,
- <math>
\frac{E(u+\tau\psi) - E(u)}{\tau} = \frac{1}{\tau} \left( \int_\Omega F(u+\tau\psi)dx - \int_\Omega F(u)dx \right) </math>
- <math>
\quad\quad =\frac{1}{\tau} \left( \int_\Omega\int_0^1 \frac{d}{ds} F(u+s\tau\psi) \,ds\,dx \right) </math>
- <math>
\quad \quad =\int_\Omega\int_0^1 f(u+s\tau\psi)\psi \,ds\,dx. </math>
Fent <math>\tau\rightarrow 0</math> (i suposant que totes les integrals estan ben definides) dona com a resultat per a la derivada de Gâteaux
- <math>\int_\Omega f(u(x))\psi(x) \,dx,</math>
Es a dir, el producte interior de <math>(f(u),\psi).\,</math>
Vegeu també
Referències
- R Gâteaux. «Sur les fonctionnelles continues et les fonctionnelles analytiques». Comptes rendus de l'academie des sciences, Paris, Vol. 157 (1913). [Consulta: Plantilla:Data consulta].