Derivada direccional

En matemàtiques, la derivada direccional d'una funció derivable de diverses variables al llarg d'un vector V en un punt donat P, intuïtivament, representa la raó instantània de canvi de la funció quan es passa per P resseguint la direcció de V. Això per tant generalitza la noció de derivada parcial, en la qual la direcció és sempre paral·lela a un dels eixos de coordenades.

La derivada direccional és un cas especial de la derivada de Gâteaux.

Definició

La derivada direccional d'una funció escalar <math>f(\vec{x}) = f(x_1, x_2, \ldots, x_n)</math> al llarg d'un vector <math>\vec{v} = (v_1, \ldots, v_n)</math> és la funció definida pel límit

<math>\nabla_{\vec{v}}{f}(\vec{x}) = \lim_{h \rightarrow 0}{\frac{f(\vec{x} + h\vec{v}) - f(\vec{x})}{h}}.</math>

De vegades alguns autors escriuen D_v en comptes de <math>\nabla_v</math>. Si la funció <math>f</math> és derivable a <math>\vec{x}</math>, llavors la derivada direccional existeix al llarg de qualsevol vector <math>\vec{v},</math> i es té

<math>\nabla_{\vec{v}}{f}(\vec{x}) = \nabla f(\vec{x}) \cdot \vec{v}</math>

On la <math>\nabla</math> de la dreta denota el gradient i <math>\cdot</math> és el Producte escalar. A qualsevol punt <math>\vec{x}</math>, la derivada direccional de <math>f</math>, intuïtivament, representa la raó de canvi de <math>f</math> al llarg de <math>\vec{v}</math> al punt <math>\vec{x}</math>. Normalment les direccions es prenen normalitzades, es a dir <math>\vec{v}</math> és un vector unitari, tot i que la definició de més amunt funciona per a vectors qualssevol.

Demostració 

Per claredat es farà la demostració pel cas d'una funció de dues variables, el cas general s'obté de la mateixa manera. Sia una funció derivable <math>z = f(x,y)\;</math>. La derivada direccional en la direcció d'un vector <math>\mathbf{v} = (v_x,v_y)</math> és:

<math>D_\mathbf{v}f = \lim_{h\to 0} \cfrac{f(x+v_xh,y+v_yh)-f(x,y)}{h}</math>

<math>D_\mathbf{v}f = \lim_{h\to 0} \cfrac{f(x+v_xh,y+v_yh)-f(x,y+v_yh)+f(x,y+v_yh)-f(x,y)}{h} </math>

<math>D_\mathbf{v}f = \lim_{h\to 0} \cfrac{f(x+v_xh,y+v_yh)-f(x,y+v_yh)}{h} +

\lim_{h\to 0} \cfrac{f(x,y+v_yh)-f(x,y)}{h}</math>
El primer d'aquests límits es pot calcular amb el canvi <math>h' = v_xh\;</math> això, pel fet de ser derivable la funció, condueix a:

<math>\lim_{h'\to 0} \cfrac{f(x+h',y+v_yh'/v_x)-f(x,y+v_yh'/v_x)}{h'/v_x} =

\lim_{h'\to 0} v_x\frac{\part f(x,y+v_yh'/v_x)}{\part x} = v_x\frac{\part f(x,y)}{\part x} </math>

Fent el mateix amb l'altre límit i sumant s'obté:

<math>D_\mathbf{v}f = v_x\frac{\part f(x,y)}{\part x} + v_y\frac{\part f(x,y)}{\part y}</math>

Aquest resultat coincideix amb el producte escalar del gradient pel vector <math>\mathbf{v} = (v_x,v_y)</math>:

<math>(\nabla f)\cdot\mathbf{v} = \left(\frac{\part f(x,y)}{\part x}, \frac{\part f(x,y)}{\part y} \right) \cdot (v_x,v_y) = \frac{\part f(x,y)}{\part x}v_x + \frac{\part f(x,y)}{\part y}v_y =

D_\mathbf{v}f </math>

 

Propietats

Moltes de les propietats de la derivadaordinària, també les té la derivada direccional. Entre elles hi ha, per a qualssevol parell de funcions f i g definides en un entorn de p i derivables a p:

• La regla de la suma: <math>\nabla_v (f + g) = \nabla_v f + \nabla_v g</math>
• La regla del producte per una constant: Per a qualsevol constant c, <math>\nabla_v (cf) = c\nabla_v f</math>
• La regla del producte: <math>\nabla_v (fg) = g\nabla_v f + f\nabla_v g</math>
• La regla de la cadena: Si g és derivable a p i h és derivable a g(p), llavors

<math>\nabla_v h\circ g (p) = h'(g(p)) \nabla_v g (p)</math>

En geometria diferencial

Sia M una varietat diferenciable i p un punt de M. Suposant que f sigui una funció definida en un entorn de p, i que sigui derivable a p. Si v és un vector tangent a M en p, llavors la derivada direccional de f al llarg de v, escrita indiferentment com a <math>\nabla_v f(p)</math> (vegeu derivada covariant), <math>L_v f(p)</math> (vegeu derivada de Lie), o <math>v_p(f)</math> (vegeu espai tangent#Definició via derivació), es pot definir tal com segueix. Sia γ : [-1,1] → M una corba derivable amb γ(0) = p i γ^′(0) = v. Llavors la derivada direccional es defineix per

<math>\nabla_v f(p) = \left.\frac{d}{d\tau} f\circ\gamma(\tau)\right|_{\tau=0}</math>

Es pot demostrar que aquesta definició és independent de la tria de γ, suposant que γ se selecciona de la forma prescrita, es a dir γ'(0) = v.

Derivada normal

Una derivada normal és una derivada direccional peresa en la direcció normal (es a dir ortogonal) a alguna superfície en l'espai, o de forma més general, al llarg d'un camp vectorial ortogonal a alguna hipersuperfície. Vegeu per exemple la condició de frontera de Neumann. Si la direcció normal s'escriu <math>\vec{n}</math>, llavors la derivada direccional d'una funció ƒ s'escriu de vegades <math>\frac{ \partial f}{\partial n}</math>.

Vegeu també

• Derivada de Lie
• Forma diferencial