Equació diferencial de Bernoulli

Vegeu «Principi de Bernoulli» per a informació sobre l'equació en el camp de la dinàmica de fluids.

En matemàtiques, s'anomena equació diferencial de Bernoulli (o sovint equació de Bernoulli) a una equació diferencial ordinària de la forma

<math>y'+ P(x)y = Q(x)y^n\,</math>

Per resoldre aquesta equació, s'han de seguir els següents passos: Dividir entre <math>y^n</math>:

<math>\frac{y'}{y^{n}} + \frac{P(x)}{y^{n-1}} = Q(x).</math> (1)

Fer un canvi de variables amb

<math>w=\frac{1}{y^{n-1}}</math>

i

<math>w'=\frac{(1-n)}{y^{n}}y'.</math>

Després de substituir, s'aconsegueix l'equació diferencial de primer ordre

<math>\frac{w'}{1-n} + P(x)w = Q(x)</math> (2)

que es pot resoldre fent servir el factor d'integració

<math>M(x)= e^{(1-n)\int P(x)dx}</math>

Exemple

Donada l'equació de Bernoulli següent

<math>y' - \frac{2y}{x} = -x^2y^2</math>

Després de dividir per <math>y^2</math>, aconseguim

<math>y'y^{-2} - \frac{2}{x}y^{-1} = -x^2</math>

de manera que el canvi de variables és

<math>w = \frac{1}{y}</math> i <math>w' = \frac{-y'}{y^2}</math>

Això porta a

<math>w' + \frac{2}{x}w = x^2</math>

que es pot resoldre fent servir el factor d'integració

<math>M(x)= e^{2\int \frac{1}{x}dx} = x^2</math>

Després de multiplicar les dues bandes per <math>M(x)</math> es té que

<math>w'x^2 + 2xw = x^4,\,</math>

i es pot observar que la banda esquerra és la derivada de <math>wx^2</math> (recordant que <math>w</math> és una funció de <math>x</math>). Integrant a les dues bandes, es troba

<math>\int (wx^2)' dx = \int x^4 dx</math>

que dóna

<math>wx^2 = \frac{1}{5}x^5 + C,</math>

<math>\frac{1}{y}x^2 = \frac{1}{5}x^5 + C</math>

i finalment

<math>y = \frac{x^2}{\frac{1}{5}x^5 + C}</math>