Espai mètric
En Matemàtiques, un espai mètric és un cas particular d'espai topològic, on està definida una distància.
Definició formal
Formalment, un espai mètric és un conjunt <math>M\,</math> amb una funció distància associada, (també anomenada mètrica) <math>d:M\times M\rightarrow \mathbb R\,</math>.
- <math>\mathbb R\,</math> és el conjunt dels nombres reals.
- Als elements del conjunt, se'ls anomena punts.
- Una funció <math>d\,</math> compleix les condicions d'una distància en <math>M\,</math> si <math>\forall x,y,z \in M\,</math>:
- <math>d(x,y) \ge 0\,</math>.
- <math>d(x,x)=0\,</math> '
- si <math>d(x,y)=0\text{ llavors }x=y\,</math>
- <math>d(x,y)=d(y,x)\,</math>
- <math>d(x,y) \le d(x,z)+d(y,z)\,</math>
Sistemes axiomàtics alternatius
- La condició 1 <math>d(x,y) \ge 0\,</math> no és necessària, ja que també es pot veure com una conseqüència de les condicions 4 i 5.
- Qualsevol mètrica, per tal d'evitar els valors <math>\infty\,</math>, permet una reescalació a una mètrica finita, definint, per exemple, <math>\delta (x,y)= \frac {d(x,y)}{1+d(x,y)}\,</math>, els dos espais mètrics són equivalents des d'un punt de vista topològic.
Exemples
- En qualsevol conjunt existeix la mètrica discreta: <math>d(x,y)=\left\{\begin{matrix}0,&\mbox{si } x=y\\ 1&\mbox{si } x\ne y\end{matrix}\right.\, </math>.
- En el conjunt dels nombres reals, la funció dístància <math>d(x,y)=|x-y|\,</math>. Distància euclidiana.
- La distància euclidiana, a <math>\mathbb {R}^n\,</math>, o sigui <math>d(\mathbf {x} ,\mathbf {y})=\sqrt{(y_{1}-x_{1})^{2}+...+(y_{n}-x_{n})^{2}}\,</math>.
- Qualsevol espai vectorial normat és un espai mètric si definim <math>d(x,y)=||y-x||\,</math>.