Mòdul lliure
Si a l'estructura d'espai vectorial hom substitueix el cos d'escalars per un anell, l'estructura obtinguda és la de mòdul. Naturalment, moltes de les propietats es perden en aquest canvi i l'estructura de mòdul lliure és la que més s'acosta a la d'espai vectorial. Resulta significatiu que, per definir-la, només calgui reproduir el fet que qualsevol homomorfisme d'espais vectorials queda determinat quan se'n coneixen les imatges dels elements d'una base.
Posem això en una notació adequada: si <math>M\, </math> i <math>N \,</math> són espais vectorials i <math>\mathcal{B}</math> és una base de <math>M</math>, una aplicació <math>j: \mathcal{B} \longrightarrow N \,</math> informa quant a quina és la imatge de cada element de la base <math>\mathcal{B}</math> de <math>M</math> i només d'això. Però aleshores, ha quedat perfectament determinat un homomorfisme <math>f: M \longrightarrow N \,</math> de manera que si <math>i: \mathcal{B} \longrightarrow M \,</math> és la injecció natural, el següent diagrama
|
és commutatiu. La definició del <math>A</math>-mòdul lliure sobre el conjunt de generadors explota aquest fet exhaustivament.
Definició
Siguin <math>A</math> un anell commutatiu amb unitat i <math>S</math> un conjunt. El <math>A</math>-mòdul lliure sobre el conjunt de generadors <math>S</math>, denotat <math>F_{S}</math>, és l'únic <math>A</math>-mòdul provist d'una aplicació <math>i: S \longrightarrow F_{S}</math> que compleix que, per qualsevol altre <math>A</math>-mòdul <math>M</math> i qualsevol aplicació <math>f: S \longrightarrow M</math>, hi ha un únic homomorfisme de mòduls, <math>\tilde{f}: F_{S} \longrightarrow M</math> que fa que el següent diagrama
|
sigui commutatiu, això és, que <math>f = \tilde{f} \circ i \,</math>.
Unicitat
Comencem per veure que, si <math>h: F_{S} \longrightarrow F_{S} \,</math> és un homomorfisme de mòduls que fa <math>h \circ i = i \,</math>, aleshores <math>h</math> és la identitat. En efecte, en el diagrama de la dreta
|
la conmutativitat és òbvia i la unicitat establerta per la definició per a <math>\tilde{i} = h \,</math> del diagrama de l'esquerra obliga a que <math>\tilde{i} = h = \mbox{Id}_{F_{S}} \,</math>.
Sigui ara <math>\left(F'_{S}, i'\right) \,</math> un altre mòdul lliure sobre el conjunt de generadors <math>S</math>. Tenim els següents diagrames commutatius:
|
o sigui,
| <math>i' = \tilde{i'} \circ i \,, \qquad i = \tilde{i} \circ i' \,</math> |
que, per substitució, dóna
| <math>i' = \tilde{i'} \circ \tilde{i} \circ i' = (\tilde{i'} \circ \tilde{i}) \circ i'\,, \qquad i = \tilde{i} \circ \tilde{i'} \circ i = (\tilde{i} \circ \tilde{i'}) \circ i \,</math> |
Ara bé, segons l'observació inicial, ha de ser
| <math>\tilde{i'} \circ \tilde{i} = \mbox{Id}_{F'_{S}} \,,\qquad \tilde{i} \circ \tilde{i'} = \mbox{Id}_{F_{S}} \,</math> |
i, per tant, <math>\tilde{i}</math> i <math>\tilde{i'}</math> són inverses l'una de l'altra i, en conseqüència, els dos mòduls lliures, <math>F_{S}</math> i <math>F'_{S}</math> són isomorfs. A més, per la condició d'unicitat, no hi ha cap altre isomorfisme que respecti les aplicacions <math>i</math> i <math>i'</math>: tenim, doncs, que aquest isomorfisme és únic.
Generadors. Bases
El conjunt <math>i(S) \,</math> genera el mòdul lliure <math>F_{S}</math>, això és, qualsevol submòdul <math>M \subset F_{S} \,</math> que contingui <math>i(S) \,</math> és exactament igual a <math>F_{S}</math>. A més, el conjunt <math>i(S) \,</math> és lliure, és a dir, els seus elements són linealment independents.
Per veure-ho, considerem les aplicacions
|
<math> \begin{matrix} f: S \longrightarrow F_{S}/M &\\ f(s) = 0 \,,& \forall s \in S \end{matrix} \qquad\qquad \begin{matrix} \zeta: F_{S} \longrightarrow F_{S}/M &\\ \zeta(\varphi) = 0 \,, & \forall \varphi \in F_{S} \end{matrix} \,</math> |
i la projecció canònica <math>\pi: F_{S} \longrightarrow F_{S}/M \,</math>. Aleshores, els dos diagrames
|
són òbviament commutatius i, de la unicitat, en resulta <math>\pi = \zeta \,</math>, és a dir, que la projecció canònica és nula i, per tant, que <math>M = F_{S} \,</math>.
La independència lineal dels elements de <math>i(S) \,</math> es pot establir així: per a un element determinat <math>s_{0} \in S \,</math>, considerem l'aplicació
|
<math> f: S \longrightarrow A \,</math> |
|
<math> f(s) = \begin{cases} 0 \,, \mbox{ si } s \neq s_{0} \\ 1 \,, \mbox{ si } s = s_{0} \\ \end{cases} \,</math> |
En considerar l'anell <math>A \,</math> com a <math>A</math>-mòdul, hi ha el morfisme induït al mòdul lliure <math>\tilde{f}: F_{S} \longrightarrow A \,</math> que fa <math>f = \tilde{f} \circ i \,</math>. Prenem ara qualsevol suma finita
|
<math> \sum_{s \in S} a_{s} i(s) = 0 </math> |
Tenim:
|
<math> 0 = \tilde{f}(0) = \tilde{f}\left(\sum_{s \in S} a_{s} i(s)\right) = \sum_{s \in S} a_{s} \tilde{f}\left(i(s)\right) = \sum_{s \in S} a_{s} f(s) = a_{s_{0}} f\left(s_{0}\right) = a_{s_{0}} </math> |
i, com que això s'esdevé per qualsevol índex <math>s_{0} \in S \,</math>, resulta que <math>a_{s} = 0 \,, \forall s \in S</math> i la independència lineal queda demostrada. Aleshores, <math>i(S) \,</math> és una base del mòdul lliure <math>F_{S}</math>.
Inversament, tot <math>A</math>-mòdul <math>M \,</math> provist d'una base <math>\mathcal{B} \,</math>, és a dir, d'un conjunt de generadors lliure, és un mòdul lliure sobre aquest conjunt de generadors. En efecte, primer definim l'aplicació
|
<math> i: \mathcal{B} \longrightarrow M </math> |
|
<math> i(b) = b </math> |
i ara, si <math>N \,</math> és un altre <math>A</math>-mòdul i <math>f: \mathcal{B} \longrightarrow N \,</math> és una aplicació qualsevol de <math>\mathcal{B}</math> a <math>N</math>, l'aplicació
|
<math> \tilde{f}: M \longrightarrow M </math> |
|
<math> \tilde{f}(\varphi) = \tilde{f}\left(\sum_{b \in \mathcal{B}} a_{b} b \right) = \sum_{b \in \mathcal{B}} a_{b} f(b) </math> |
és, trivialment, un homomorfisme de <math>M \,</math> a <math>N \,</math> i el següent diagrama
|
és commutatiu.
En particular, si l'anell <math>A</math> és un cos, aleshores <math>M</math> és un espai vectorial sobre <math>A</math> i, com a tal, té almenys una base. En conseqüència, tots els espais vectorials són lliures sobre cadascuna de les seves bases.
En realitat, allò que descriu aquest apartat és que un homomorfisme entre <math>A</math>-mòduls, el domini del qual és lliure, queda determinat per les imatges dels elements d'una base qualsevol del domini.
A-mòduls lliures de generació finita
Si <math>S \,</math> és un conjunt finit, el <math>A</math>-mòdul lliure <math>F_{S} \,</math> es diu de generació finita o finitament generat. Hom pot considerar, sense inconvenient, substituir el conjunt <math>S</math>, de <math>n</math> elements, pel conjunt finit
|
<math> \left\{1, 2, \ldots, n\right\} \,</math> |
Aleshores, <math>F_{S} \,</math> se sol denotar per <math>A^{n} \,</math>, tot expressant que el mòdul lliure sobre el conjunt <math>\left\{1, 2, \ldots, n\right\}</math> no és altra cosa que el producte directe de <math>n \,</math> exemplars de l'anell <math>A \,</math>, els elements en són <math>n</math>-tuples d'elements de l'anell, amb la suma de <math>n</math>-tuples i la multiplicació per elements de l'anell en la forma usual.
Matrius
Si <math>A^{n} \,</math> és l'<math>A</math>-mòdul lliure amb generadors <math>\left\{1, 2, \ldots, n\right\}</math>, i <math>A^{m} \,</math> és un altre mòdul lliure, una aplicació <math>f: \left\{1, 2, \ldots, n\right\} \longrightarrow A^{m} </math> determina un únic homomorfisme <math>\tilde{f}: A^{n} \longrightarrow A^{m} \,</math> entre ambdós mòduls. La descripció de l'aplicació <math>f \,</math> se sol fer mitjançant una matriu de <math>m \,</math> files i <math>n \,</math> columnes,
|
<math> \begin{pmatrix} a_{i,j} \end{pmatrix} \,,\quad i = 1, \ldots, m \,,\quad j = 1, \ldots, n \,</math> |
d'elements de l'anell <math>A</math> de manera que la columna <math>j</math> conté l'expressió de <math>f(j) \in A^{m}</math> en alguna base d'aquest últim mòdul. La matriu, doncs, determina l'homomorfime <math>\tilde{f} \,</math> de manera unívoca.
En conseqüència, l'àlgebra de les matrius <math>m \times n \,</math> d'elements de l'anell <math>A</math> és isomorfa a l'àlgebra dels homomorfismes de <math>A^{n}</math> a <math>A^{m}</math>.
Existència
Construirem ara efectivament el <math>A</math>-mòdul lliure sobre un conjunt de generadors <math>S</math>. El conjunt <math>F_{s}</math> és el conjunt de totes les funcions <math>\varphi: S \longrightarrow A \,</math> que prenen el valor <math>0 \in A \,</math> excepte en un nombre finit d'elements de <math>S</math>. Clarament, les operacions
|
<math>\left(\varphi + \psi\right)(s) = \varphi(s) + \psi(s) \,,\qquad \left(a \varphi\right)(s) = a \left(\varphi(s)\right) \,,\qquad \varphi, \psi \in F_{S} \,,\quad s \in S \,,\quad a \in A \,</math> |
fan de <math>F_{s}</math> un <math>A</math>-mòdul.
Però l'aplicació <math>i: S \longrightarrow F_{S}</math> definida per
|
<math> i(s)(t) = \begin{cases} 0 \,, \mbox{ si } s \neq t \\ 1 \,, \mbox{ si } s = t \\ \end{cases} \qquad s, t \in S \,</math> |
fa de <math>F_{s}</math> el <math>A</math>-mòdul lliure sobre un conjunt de generadors <math>S</math>. En efecte, sigui <math>f: S \longrightarrow M \,</math> una aplicació del conjunt <math>S \,</math> sobre un cert <math>A</math>-mòdul <math>M \,</math>. L'aplicació
|
<math> \tilde{f}: F_{S} \longrightarrow M \,</math> |
|
<math> \tilde{f}(\varphi) = \sum_{s \in S} \varphi(s) f(s) </math> |
és un morfisme d'<math>A</math>-mòduls perquè
|
<math> \tilde{f}(\varphi + \psi) = \sum_{s \in S} \left(\varphi + \psi\right)(s) f(s) = \sum_{s \in S} \left(\varphi(s) + \psi(s)\right) f(s) = \sum_{s \in S} \varphi(s) f(s) + \sum_{s \in S} \psi(s) f(s) = \tilde{f}(\varphi) + \tilde{f}(\psi) </math> |
|
<math> \tilde{f}(a \varphi) = \sum_{s \in S} \left(a \varphi(s)\right) f(s) = \sum_{s \in S} a \varphi(s) f(s) = a \sum_{s \in S} \varphi(s) f(s) = a \tilde{f}(\varphi) </math> |
i, si <math>\tilde{f'}: F_{S} \longleftrightarrow M \,</math> és un altre morfisme que fa <math>\tilde{f'} \circ i = f \,</math>, aleshores, per a <math>\varphi \in F_{S} \,</math>, com que <math>i(S) \,</math> genera <math>F_{S}</math>,
|
<math> \varphi = \sum_{s \in S} a_{s} i(s) </math> |
i
|
<math> \tilde{f'}\left(\varphi\right) = \tilde{f'}\left(\sum_{s \in S} a_{s} i(s)\right) = \sum_{s \in S} a_{s} \tilde{f'}(i(s)) = \sum_{s \in S} a_{s} f(s) = \sum_{s \in S} a_{s} \tilde{f}(i(s)) = \tilde{f}\left(\sum_{s \in S} a_{s} i(s)\right) = \tilde{f}\left(\varphi\right) </math> |
i, per tant, <math>\tilde{f'} = \tilde{f} \,</math>. En conseqüència, el <math>A</math>-mòdul <math>F_{S} \,</math> així construït és el <math>A</math>-mòdul lliure generat pel conjunt <math>S</math>.