Grup (matemàtiques)

Un grup és una estructura algebraica formada per un conjunt G d'elements on hi ha definida una operació binària, com pot ser la suma o el producte, i que compleix unes propietats determinades que detallem més endavant.

Molts objectes estudiats en matemàtiques tenen estructura de grup. Entre aquests trobem els nombres enters, els racionals, els reals i els complexos amb l'operació de la suma, així com els racionals, reals i complexos sense el zero amb l'operació del producte. També té estructura de grup el conjunt de les matrius quadrades no singulars amb el producte o el conjunt de les funcions invertibles amb la composició.

Definició de grup

Un grup és un conjunt G on hi ha definida una operació binària <math>*:G\times G\rightarrow G</math> amb les propietats següents:

<math>\exist e \in G\ \ \forall a\in G\ \ a*e=e*a=a</math> (existència d'element neutre)

<math>\forall a \in G\ \ \exist b\in G\ \ a*b=b*a=e</math> (existència d'element invers)

<math>\forall a,b,c \in G\ \ a*(b*c)=(a*b)*c</math> (associativitat)

Si a més G verifica la propietat addicional següent:

<math>\forall a,b\in G\ \ a*b=b*a</math> (commutativitat)

es diu que el grup (G,*) és un grup abelià o commutatiu Per indicar que un grup és abelià és comú notar l'operació binària pel símbol + en comptes de *.

Definició alternativa

Es pot donar una definició alternativa de grup, que té l'avantatge que no conté existencials. Un grup és un conjunt G on hi ha definides tres operacions, una binària anomenada producte, una unària anomenada invers, i una zero-ària anomenada element neutre, notades respectivament

<math>(a,b)\mapsto a*b</math>
<math>a\mapsto a^{-1}</math>
<math>e \,</math>

i que compleixen les propietats següents:

<math>\forall a,b,c\in G\ \ a*(b*c)=(a*b)*c</math>
<math>\forall a\in G\ \ a*e=e*a=a</math>
<math>\forall a\in G\ \ a*a^{-1}=a^{-1}*a=e</math>

Propietats bàsiques

De l'element <math>e</math> de la primera propietat se'n diu element neutre. Un grup només té un element neutre, perquè si suposem que té dos elements neutres <math>e_1, e_2</math> aplicant dos cops la primera propietat tenim

De l'element <math>b</math> de la segona propietat se'n diu element invers de <math>a</math>. La segona propietat afirma que cada element del grup té almenys un invers. A més tot element té com a màxim un invers, perquè si <math>a</math> tingués dos elements inversos <math>b_1, b_2</math> llavors tindriem

Com que l'element invers d'un element <math>a</math> de G és únic el notem <math>a^{-1}</math>. L'invers del neutre és el neutre. L'invers de l'invers d'un element és ell mateix. Amb la nostra notació:

Si <math>a,b\in G</math> llavors <math>(a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}</math> perquè tenim

(posar altres propietats bàsiques)

Morfismes de grups

Siguin <math>(G,*)</math> i <math>(G',\cdot)</math> dos grups amb les seves respectives operacions. Hi ha moltes maneres d'assignar a cada element de <math>(G,*)</math> un element de <math>(G',\cdot)</math>. De entre totes les maneres que hi ha de fer això

<math>\phi:G\rightarrow G'</math>

anomenarem morfismes de grups a aquelles que verifiquen un "bon comportament" respecte de les estructures de grup de cada grup. Concretament anomenarem morfismes de grups a totes les aplicacions <math>\phi:G\rightarrow G'</math> que verifiquen:

<math>\forall x,y\in G\ \ \phi(x*y)= \phi(x)\cdot\phi(y)</math>

Els morfismes de grups no són aplicacions massa alocades. La idea és arribar a definir amb precisió què significa que dos grups siguin equivalents tot i no ser la mateixa cosa conjuntísticament parlant.

Primera propietat senzilla: si <math>e\in G</math> i <math>e'\in G'</math> són els respectius elements neutres i <math>\phi:G\rightarrow G'</math> és morfisme llavors <math>\phi(e)=e'</math>. Vegem-ho:

Moltes vegades aquesta propietat s'imposa en la definició de morfisme, però ja es veu que no cal.

Segona propietat senzilla: si <math>\phi:G\rightarrow G'</math> és un morfisme de grups, llavors <math>\phi(a^{-1})=(\phi(a))^{-1}</math>. Vegem-ho:

Exemples de grups

Grup simètric

Sigui X un conjunt qualsevol, i sigui <math>S_X</math> el conjunt de les aplicacions bijectives de X en X. Llavors <math>(S_X,\circ)</math> és un grup on <math>\circ</math> és la composició d'aplicacions. L'element neutre n'és l'aplicació identitat, i la inversa d'una aplicació n'és l'invers en el grup. Aquest grup s'anomena grup simètric de X.

Si X és un conjunt finit de n elements llavors <math>S_X</math> té <math>n!</math> elements.

Si <math>(G,*)</math> és un grup qualsevol, llavors <math>(S_G,\circ)</math> té algun subgrup isomorf a <math>(G,*)</math>. En altres paraules, tot grup es pot veure com a subgrup d'algun grup simètric.

Subgrups

Direm que <math>G'</math> és un subgrup de <math>G</math> si <math>G'\subseteq G</math> i <math>G'</math> té estructura de grup amb l'operació binària * de <math>G</math> (verifica les tres propietats de la definició de grup) i és tancat amb aquesta operació,

<math>\forall a,b\in G'\ \ a*b\in G'</math>

Si un grup és abelià aleshores els seus subgrups també ho són. A més tot grup conté un subgrup abelià. De fet el grup format per un sol element

sempre és un subgrup de qualsevol grup i és abelià.

Exemple de subgrup: Z(G)

Definim Z(G) (el centre de G) com:

<math>Z(G)=\{a\in G\ | \ \forall g\in G\ \ a*g=g*a\}</math>

L'objectiu és veure que <math>Z(G)</math> és un subgrup de <math>G</math>.

Per una banda sabem que:

<math>Z(G)\subseteq G</math>

A més <math>Z(G)</math> és tancat per l'operació * de <math>G</math>, perquè si <math>a,b\in Z(G)</math> donat un <math>g\in G</math> qualsevol tenim

Per tant <math>a*b\in Z(G)</math>

Per veure que <math>Z(G)</math> té estructura de grup només cal veure que el neutre hi pertany (la qual cosa és certa per la primera propietat de grup i la definició de <math>Z(G)</math>) i que l'invers d'un element que hi pertanyi també hi pertany. Això és dir:

<math>a\in Z(G)\ \Rightarrow\ \ a^{-1}\in Z(G)</math>

però ho podem justificar perquè tenim les identitats:

Per com està definit es clar que <math>Z(G)</math> és un grup abelià.

Si <math>Z(G)=G</math> llavors resulta que <math>G</math> és un grup abelià. El recíproc també és cert.

Subgrups relacionats amb morfismes

Donat un morfisme de grups <math>\phi:G\rightarrow G'</math> podem definir a <math>G</math> i <math>G'</math> els subgrups <math>\ker{\phi}\subseteq G</math> i <math>\textrm{Im}\ \phi\subseteq G'</math> de la següent manera:

<math>\textrm{Im}\ \phi =\phi(G) =\{y\in G'\ |\ \exists x\in G, \ y=\phi(x)\}</math>

A partir d'aquí es pot obtenir un resultat, conegut com el Primer Teorema d'Isomorfia:

<math>\frac{G}{\ker{\phi}}\cong\textrm{Im}\ \phi</math>

Categoria dels grups

La categoria Grp, anomenada categoria dels grups, té per objectes els grups i per morfismes els morfismes de grups. Els isomorfismes d'aquesta categoria coincideixen amb els isomorfismes de grups.

Vegeu Teoria de categories.

Vegeu també