Matriu de Gram
En àlgebra lineal, la matriu de Gram d'un conjunt de vectors <math>v_1,\dots, v_n</math> en un espai prehilbertià, és la matriu que defineix el producte escalar, les entrades del qual venen donades per <math>G_{ij}=(v_i|v_j)</math>. El seu nom és degut al matemàtic danés Jørgen Pedersen Gram.
Propietats
Una matriu de Gram, G, és una matriu quadrada que compleix les següents propietats:
- És simètrica.
- <math>g_{ij}=g_{ji}</math>
- És una matriu semidefinida positiva, i totes les matrius semidefinides positives són la matriu de Gram d'algun conjunt de vectors. Aquest conjunt generalment no és únic: la matriu de Gram de qualsevol base ortonormal és una matriu identitat. L'analogia en dimensió infinita d'això seria el Teorema de Mercer.
- El primer element és positiu.
- <math>g_{11}>0</math>
- Els seus determinants principals són positius.
- <math>\begin{vmatrix}
g_{11} & g_{12} \\ g_{21} & g_{22} \\ \end{vmatrix} > 0</math>
- <math>\begin{vmatrix}
G \end{vmatrix} > 0</math>
Aplicacions
Una de les aplicacions més importants d'aquesta matriu és la comprovació de la independència lineal: un conjunt de vectores serà linealment independent si i només sí el determinant de Gram no és nul.
Determinant de Gram
El Determinant de Gram és el determinant de la matriu de Gram:
- <math>G(x_1,\dots, x_n)=\begin{vmatrix} (x_1|x_1) & (x_1|x_2) &\dots & (x_1|x_n)\\
(x_2|x_1) & (x_2|x_2) &\dots & (x_2|x_n)\\
\vdots&\vdots&&\vdots\\
(x_n|x_1) & (x_n|x_2) &\dots & (x_n|x_n)\end{vmatrix}.</math>
Geomètricament, el determinant de Gram és el quadrat del volum d'un paral·lelepípede format pels vectors. En particular, els vectors són linealment independents si i només si el determinant de la matriu de Gram no és zero (si i només si la matriu de Gram no és singular).
Exemples
Normalment, els vectors són elements d'un espai euclidià, o funcions d'un espai L2, tals com funcions contínues en un interval tancat <math>[a,b]</math>.
Donada una funció de variable real <math>\{l_i(\cdot),\,i=1,\dots,n\}</math> definida en un interval <math>[t_0,t_f]</math>, la matriu de Gram <math>G=[G_{ij}]</math>, es defineix com el producte escalar estàndard de funcions: <math>G_{ij}=\int_{t_0}^{t_f} l_i(\tau)l_j(\tau)\, d\tau </math>.
Donada una matriu A, la matriu <math>A^{\mathrm{T}}A</math> és la matriu de Gram de las columnes de A, mentre que la matriu <math>AA^{\mathrm{T}}</math> és la matriu de Gram de les files de A.
Per a una forma bilineal B definida en un subespai vectorial de dimensió finita, es defineix la matriu de Gram G associada a un conjunt de vectors <math>v_1,\dots, v_n</math>, com <math>G_{i,j} = B(v_i,v_j) \, </math>. Aquesta matriu sería la simètrica si la forma bilineal B ho fos.