Producte escalar
En les matemàtiques, un producte escalar -també conegut com a producte interior o punt- és una operació algebraica entre dos vectors que resulta en un escalar. Aquesta operació permet treballar i estendre les nocions de la geometria euclidiana com ara la norma, l'angle o la distància en espais vectorials de dimensió més gran que tres o sobre el cos del complexos.
Definició del producte escalar
Sigui <math>E</math> un espai vectorial real. Un producte escalar a <math>E</math> és una forma bilineal simètrica:
| <math><\ ,\ >: E \times E \longrightarrow \mathbb{R} \,</math> |
definida positiva. És a dir, que compleix
| <math><u,u>\ \geq 0, \forall u \in \mathbb{E}</math> |
| <math><u,u>\ = 0 \Leftrightarrow u = \vec{0}</math> |
Si <math>E</math> és un espai vectorial complex, un producte escalar és una forma sesquilineal hermítica:
| <math><\ ,\ >: E \times E \longrightarrow \mathbb{C} \,</math> |
definida positiva.
El conjunt format per un espai vectorial i un producte escalar determina una estructura algebraica anomenada espai euclidià. Cal notar que diferents productes escalars sobre un mateix espai vectorial determinen diferents espais euclidians i que conceptes com ara l'angle, la norma euclidiana o la distància depenen del producte escalar definit.
Definició del producte escalar usual o canònic a <math>R^n</math>
Un producte escalar especialment important pel seu ús a la Física i a la Geometria euclidiana és l'anomenat producte escalar usual o canònic sobre l'espai vectorial <math>R^n</math>.
El producte escalar de dos vectors <math>\vec{A}</math> i <math>\vec{B}</math> pertanyents a <math>R^n</math> és un escalar en R definit com:
- <math>\vec{A} \cdot \vec{B}=|\vec{A}| |\vec{B}| cos \theta</math>
On θ és l'angle no orientat entre els dos vectors i <math>|\vec{A}|</math> i <math>|\vec{B}|</math> són els mòduls dels vectors.
La notació habitual es el punt <math> \cdot </math> per distingir-lo de l'aspa o el circumflex que s'usen pel producte vectorial de dos vectors.
En el cas que els vectors estiguin expressats com a coordenades en una base ortonormal això és, ortogonal i unitària (és a dir, base amb vectors de mòdul = 1 i que són perpendiculars entres si), el producte escalar també pot calcular-se a partir de dites coordenades com:
- <math>\vec{A} \cdot \vec{B}=[a_1, a_2, a_3] \cdot [b_1,b_2,b_3]=a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3</math>
Per exemple, el producte escalar de dos vectors en <math>R^3</math> [1, 4, -3] i [2, −1, -2] és:
- <math>\begin{bmatrix}1&4&-3\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}2&-1&-2\end{bmatrix} = (1)(2) + (4)(-1) + (-3)(-2) = 4.</math>
Usant el producte matricial i tractant els vectors columna com matrius n×1, el producte escalar es pot escriure com:
- <math>\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = \mathbf{A}^T \mathbf{B} \,</math>
on AT denota la transposada de la matriu A.
Usant l'exemple anterior, això resultaria en una matriu 1×3 (vector fila) multiplicat per un vector 3×1 (que com a multiplicació de matrius resultaria en una matriu 1×1, és a dir un escalar):
- <math>\begin{bmatrix}
1&4&-3
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
2\\-1\\-2
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
4
\end{bmatrix}.</math>
Interpretació geomètrica
A l'espai euclidià hi ha una forta relació entre el producte escalar les longituds dels vectors i l'angle que formen.
De l'equació abans esmentada:
- <math>\vec{A} \cdot \vec{B}=|\vec{A}| |\vec{B}| cos \theta</math>
Se'n deriva que l'angle entre els dos vectors és:
- <math>\theta = \arccos \left( \frac {\vec{A} \cdot \vec{B}} {|\vec{A}| * |\vec{B}|}\right)</math>
Com cos 90º = 0, si els vectors són ortogonals, el seu producte escalar és nul.
El mòdul d'un vector es pot trobar com:
- <math>|\vec{A}| = \sqrt{\vec{A} \cdot \vec{A} }</math>
El mòdul correspon a la longitud del vector.
Com <math>|\vec{A}| cos \theta </math> és la projecció escalar del vector <math>\vec{A}</math> sobre el vector <math>\vec{B}</math>, el producte escalar es pot entendre com el producte d'aquesta projecció per la longitud de <math>\vec{B}</math>.
Propietats del producte escalar
- <math>\vec{A} \cdot \vec{B}=\vec{B} \cdot \vec{A}</math>
- <math>\vec{A}\cdot(\vec{B}+\vec{C})=\vec{A}\cdot\vec{B}+\vec{A}\cdot\vec{C}</math>
La propietat associativa no té sentit pel producte escalar perquè l'operació <math>(\vec{A} \cdot \vec{B})\cdot \vec{C} </math> és indefinida ja que <math>(\vec{A} \cdot \vec{B})</math> és un escalar.
Malgrat tot, el producte escalar té la següent propietat:
- <math>m (\vec{A} \cdot \vec{B})= (m\vec{A}) \cdot \vec{B}=\vec{A}\cdot(m\vec{B})</math>
on m és un escalar.
El producte escalar és invariant a rotacions dels vectors.
Enllaços externs
[1] mathworld.wolfram.com/DotProduct.html (en anglès)
