Matriu de Sylvester
En algebra lineal, la ‘’’matriu de Sylvester’’’ de dos polinomis aporta informacions d'ordre aritmètic sobre aquests polinomis. S'anomena així en honor de James Joseph Sylvester. Serveix per a la definició del resultant de dos polinomis.
Definició
Siguen p i q dos polinomis no nuls, de graus respectius m i n.
- <math>p(z)=p_0+p_1 z+p_2 z^2+\cdots+p_m z^m,\;q(z)=q_0+q_1 z+q_2 z^2+\cdots+q_n z^n.</math>
la matriu de Sylvester associada a p i q és la matriu quadrada <math>(n+m)\times(n+m)</math> definida així:
- la primera fila es forma amb els coeficients de p, seguits de zeros:
- <math>\begin{pmatrix} p_m & p_{m-1} & \cdots & p_1 & p_0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}.</math>
- la segona fila s'obté a partir de la primera per permutació circular cap a la dreta
- les (m-2) files següents s'obtenen repetint la mateixa operació
- la fila (m+1) es forma amb els coeficients de q, seguits de zeros:
- <math>\begin{pmatrix} q_n & q_{n-1} & \cdots & q_1 & q_0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}.</math>
- les línies següents es formen per permutacions circulars.
Així en el cas m=4 i n=3, la matriu obtinguda és
- <math>S_{p,q}=\begin{pmatrix}
p_4 & p_3 & p_2 & p_1 & p_0 & 0 & 0 \\ 0 & p_4 & p_3 & p_2 & p_1 & p_0 & 0 \\ 0 & 0 & p_4 & p_3 & p_2 & p_1 & p_0 \\ q_3 & q_2 & q_1 & q_0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & q_3 & q_2 & q_1 & q_0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & q_3 & q_2 & q_1 & q_0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & q_3 & q_2 & q_1 & q_0 \\ \end{pmatrix}.</math>
El determinant de la matriu de p i q es diu determinant de Sylvester o resultant de p i q.
Aplicacions
L' equació Bézout] de incògnites els polinomis x (de grau <m) i y (de grau <n)
- <math>x \cdot p + y \cdot q = 0</math>
Es pot reescrure matricialment
- <math>S_{p,q}\cdot\begin{pmatrix}\tilde x\\\tilde y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}</math>
en la qual <math>\tilde x</math> és el vector de mida <math>n</math> dels coeficients del polinomi x i <math>\tilde y</math> el vector de mida <math>m</math>.
Així el nucli de la matriu de Sylvester dona totes les solucions de l'equació de de Bézout amb <math>\deg x < \deg q</math> i <math>\deg y < \deg p</math>.
El rang de la matriu de Sylvester determina el grau del màxim comú divisor de <math>p</math> i <math>q</math>.
- <math>\deg(\mathrm{mcd}(p,q)) = m+n-\mathrm{rang}~S_{p,q}</math>.