Rang d'una matriu

Rang per files i rang per columnes

Per a una matriu de m files i n columnes amb elements en un anell A, el rang per columnes és el rang del conjunt de columnes de la matriu, considerades com a elements del A-mòdul lliure <math>A^m\,</math>.

De manera paral·lela, el rang per files de la matriu és el rang del conjunt de files de la matriu, considerades com a elements del A-mòdul lliure <math>A^n\,</math>.

El rang d'una matriu

El fet que una mateixa matriu representi un cert homomorfisme <math>\varphi: A^{n} \longrightarrow A^{m}</math> i el seu homomorfisme dual, <math>\varphi^{\ast}: A^{m} \longrightarrow A^{n}</math> i que les imatges d'ambdós homomorfismes tinguin la mateixa dimensió fa que el rang per files i el rang per columnes siguin iguals i, per tant, que es pugui parlar, simplement, del rang de la matriu.

Càlcul del rang

La manera més senzilla de calcular el rang d'una matriu és fer-ne la reducció mitjançant el mètode de reducció de Gauss. El nombre de columnes independents, fàcil de llegir després del procés, és el rang de la matriu.

Considerem, com a exemple, la matriu 4×4

<math> A = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 1 & 3 \\ -1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 2 \\ 3 & 6 & 2 & 5 \\ \end{pmatrix} \,</math>

Una anàlisi acurada mostra que la segona columna és el doble de la primera i que la quarta columna és la suma de la primera i de la tercera. La primera i la tercera columnes són linealment independents i, per tant, el rang d'aquesta matriu ha de ser 2. Això es confirma de manera fefaent després d'aplicar el mètode de reducció de Gauss:

<math> \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \,</math>

tot mostrant clarament les dependències lineals esmentades.

Vegeu també

Homomorfisme dual