Rosa (matemàtiques)
En matemàtiques, una rosa o corba rhodonea és una sinusoide dibuixada en coordenades polars. Aquestes corbes es poden expressar amb una equació polar de la forma
- <math>\!\,r=\cos(k\theta).</math>
Si k és un enter, la corba serà una rosa de
- 2k pètals si k és parell, i
- k pètals si k és senar.
Quan k és parell, la gràfica complerta de la rosa és traçada un sol cop quan el valor de θ varia de 0 a 2π. Quan k és senar, això passa a l'interval entre 0 i π. (De forma més general, això pasa en qualsevol interval de longitud 2π per a k parell, i π per a k senar.)
Si k és un nombre racional, llavors la corba és tancada i té longitud finita. Si k és un nombre irracional, llavors no és tancada i té longitud infinita. És més, en aquest últim cas, la gràfica de la rosa esdevé un conjunt dens (és a dir, passa arbitràriament aprop de qualsevol punt del disc de radi unitat).
Donat que
- <math>\sin(k \theta) = \cos\left( k \theta - \frac{\pi}{2} \right) = \cos\left( k \left( \theta-\frac{\pi}{2k} \right) \right)</math>
Per a to <math>\theta</math>, les curves donades per les equacions polars
- <math>\,r=\sin(k\theta)</math> i <math>\,r = \cos(k\theta)</math>
són idèntiques tret d'una rotació de π/2k radians.
El nom de les roses els el va donar el matemàtic italià Guido Grandi entre l'any 1723 i el 1728.[1]
Àrea
Una rosa que té equació polar de la forma
- <math>r=a \cos (k\theta)\,</math>
on k és un enter positiu, té un àrea de
- <math>
\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}(a\cos (k\theta))^2\,d\theta = \frac {a^2}{2} \left(\pi + \frac{\sin(4k\pi)}{4k}\right) = \frac{\pi a^2}{2}
</math> si k és parell, i
- <math>
\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}(a\cos (k\theta))^2\,d\theta = \frac {a^2}{2} \left(\frac{\pi}{2} + \frac{\sin(2k\pi)}{4k}\right) = \frac{\pi a^2}{4}
</math> si k és senar.
El mateix s'aplica a les roses amb equacions polars de la forma
- <math>r=a \sin (k\theta)\,</math>
Donat que la seva gràfica no és res més que una rotació de les roses definides fent servir el cosinus.
Vegeu també
- Corba de Lissajous
- Quadrifoli – una rosa amb k=2.
Referències
Enllaços externs
