Corba de Lissajous

Corba de Lissajous en un oscil·loscopi

Corba de Lissajous en tres dimensions

En matemàtiques, un corba de Lissajous és la que té per equacions paramètriques

<math>x=A\sin(at+\delta),\quad y=B\sin(bt),</math>

que descriu un moviment harmònic compost. Aquesta família de corbes va ser investigada per Nathaniel Bowditch el 1815, ai més tard i en més detall per Jules Antoine Lissajous en 1857.

L'aspecte de la figura és altament sensible al quocient a/b. Per un quocient de 1, la figura és una el·lipse, amb cassos especials que inclouen circumferències (A = B, δ = π/2 radians) i rectes (δ = 0). Un altre corba de Lissajous senzilla és la paràbola (a/b = 2, δ = π/2). Altres quocients donen corbes més complicades, les quals només són tancades si a/b és un nombre racional. L'aspecte visual d'aquestes corbes sovint suggereix un nus tridimensional, a més moltes classes de nusos, incloent-hi el nusos que es coneixen com nusos de Lissajous, es projecten al pla com a corbes de Lissajous.

Les corbes de Lissajous qunan a=1, b=N (nombre natural) i <math>\delta=\frac{N-1}{N}\frac{\pi}{2}</math> són polinomis de Chebyshev de primera classe de grau N.

Les corbes de Lissajous apareixen sovint en els oscil·loscopi (com el de la figura). Quant s'apliquen dues entrades sinusoïdals desfasades a l'oscil·loscopi en mode X-Y amb la relaciño de fase adequada, apareix una corba de Lissajous. Les corbes de Lissajous també es poden traçar mecànicament amb un harmonograf.

Si en un oscil·loscopi x és CH1 i y és CH2, A és l'amplitud de CH1 i B és l'amplitud de CH2, a és la frequència de CH1 i b és la grequència de CH2, llavors <math>a/b</math> és el quocient de frequències entre els dos canals, i finalment, δ és el desfase de CH1.

Més avall hi ha alguns exemples de corbes de Lissajous amb δ = π/2, a senar, b parell, |a − b| = 1.

• 
  a = 1, b = 2 (1:2)
• 
  a = 3, b = 2 (3:2)
• 
  a = 3, b = 4 (3:4)
• 
  a = 5, b = 4 (5:4)
• 
  a = 5, b = 6 (5:6)
• 
  a = 9, b = 8 (9:8)

Tot i que tenen una aparença semblant, les corbes Espirogràfiques són diferents donat que generalment estan limitades un àrea circular mentre que les corbes de Lissajous estan limitades per un rectangle (±A, ±B).

Vegeu també

• Rosa (matemàtiques)

Enllaços externs

• Interactive Java Tutorial: Lissajous Figures on Oscilloscope National High Magnetic Field Laboratory
• Lissajous Curve at Mathworld
• ECE 209: Lissajous Figures — a short wikified document that mathematically and graphically explains Lissajous curves for LTI systems and gives an oscilloscope procedure that uses them to find system phase shift.
• Animated Lissajous figures in Java
• About the Australian Broadcasting Corporation logo
• Free tool QLiss3D that displays Lissajous figures in three dimensions
• A free Javascript tool for generating Lissajous curves
• Lissajous Curves: an interactive applet showing how to trace Lissajous curves in 2D. Requires Java.
• A 3D Java applet showing how a Lissajous figure can be traced.
• Lissajous 3D: animated textured 3D Lissajous patterns, also Lissajous screen saver - for Windows