Teorema fonamental del càlcul

El teorema fonamental del càlcul integral consisteix en l'afirmació de què la derivada i integral d'una funció matemàtica són operacions inverses. Això significa que tota funció contínua integrable verifica que la derivada de la seva integral és ella mateixa. Aquest teorema és central en la branca de les matemàtiques anomenada càlcul.

Una conseqüència directa d'aquest teorema, denominada ocasionalment segon teorema fonamental del càlcul, permet calcular la integral d'una funció utilitzant l'antiderivada de la funció que s'ha d'integrar.

Encara que els antic matemàtics grecs com Arquímedes ja disposaven de mètodes aproximats per al càlcul de volums, àrees i longituds corbes va ser gràcies a una idea originalment desenvolupada pel matemàtic anglès Isaac Barrow i les aportacions de Isaac Newton i Gottfried Leibniz que aquest teorema va poder ser enunciat i demostrat.

Els teoremes fonamentals del càlcul integral

Primer teorema fonamental

Declaració

Donada una funció <math>\,f</math> integrable sobre l'interval <math>\,[a,b]</math>, definim <math>\,F</math> sobre <math>\,[a,b]</math> per <math>F(x) = {\int_{\alpha}^x f(t)dt}</math> amb <math>\alpha \in [a,b]</math> fixe. El teorema diu que si <math>\,f</math> és contínua a <math>c \in [a,b]</math>, llavors <math>\,F</math> és derivable a <math>\,c</math> i <math>\,F'(c) = f(c)</math>.

Demostració

Lemma important:

Suposem que <math>f</math> és integrable sobre <math>[a,b]</math> i que:

<math>m \leq f(x) \leq M \ \forall x \in [a,b]</math>

Llavors

Comença la demostració

Hipòtesi:

Sigui <math>c \in (a,b)</math>.

Sigui <math>f</math> una funció integrable sobre l'interval <math>[a,b]</math> i contínua a c.

Sigui <math>F</math> una funció sobre <math>[a,b]</math> definida així: <math>F(x)= \int_{\alpha}^x f(t)dt</math> amb <math>\alpha \in [a,b]</math>

Tesi:

F'(c)=f(c)

Per definició tenim: <math>F'(c)={ \lim_{h \rightarrow 0} {\frac{F(c+h)-F(c)}{h}} }</math>.

Suposem que h>0, llavors <math>F(c+h)-F(c)={\int_c^{c+h} f(t)dt}</math>.

Definim <math>m_h</math> y <math>M_h</math> com:

<math>m_h = \inf\{f(x)| c\leq x \leq c+h\}</math>,

Aplicant el lemma veiem que:

<math>m_h \cdot h \leq {\int_c^{c+h} f(t)dt} \leq M_h \cdot h</math>.

Aleshores,

Ara suposem que <math>h < 0</math>, siguin:

<math>{m^*}_h = \inf \{ f(x)|c+h \leq x \leq c \}</math>,

<math>{M^*}_h = \sup \{ f(x)|c+h \leq x \leq c \}</math>.

Aplicant el lemma veiem que:

<math>{m^*}_h \cdot (-h) \leq {\int_{c+h}^c f(t)dt } \leq {M^*}_h \cdot (-h) </math>.

Com:

<math>F(c+h)-F(c)={\int_c^{c+h} f(t)dt} = -{\int_{c+h}^{c} f(t)dt}</math>,

Llavors:

<math>{m^*}_h \cdot h \geq F(c+h)-F(c) \geq {M^*}_h \cdot h</math>.

Donat que <math>h < 0</math>, llavors tenim que:

<math>{m^*}_h \leq \frac{F(c+h)-F(c)}{h} \leq {M^*}_h</math>.

I com <math>f</math> és contínua a c tenim que:

<math>\lim_{h \rightarrow 0} m_h = \lim_{h \rightarrow 0} M_h = \lim_{h \rightarrow 0} {m^*}_h = \lim_{h \rightarrow 0} {M^*}_h = f(c)</math>,

i això porta a:

<math>F'(c)={ \lim_{h \rightarrow 0} {\frac{F(c+h)-F(c)}{h}} } = f(c)</math>.

Exemples

<math>F(x) = \int_{0}^{x} t^2 dt \Rightarrow F'(x) = x^2</math>

<math>H(x) = \int_{10}^{\exp{3x}} \sin(t) dt \Rightarrow H'(x) = \sin(e^{3x}) e^{3x} 3 </math>

<math>G(x) = \int_{0}^{x^2} \arcsin(t) dt \Rightarrow G'(x) = \arcsin(x^2) 2x </math>

Segon teorema fonamental

Declaració

També se l'anomena Regla de Barrow, en honor a Isaac Barrow.

Donada una funció <math>\,f</math> contínua a l'interval <math>\,[a,b]</math> i sigui <math>\,g(x)</math> qualsevol funció primitiva de <math>\,f</math>, és a dir <math>\,g'(x)=f(x)</math>, llavors:

<math>\int_{a}^{b} f(x) dx = g(b) - g(a)</math>

Aquest teorema s'empra freqüentement per avaluar integrals definides.

Demostració

Hipòtesi:

Sigui <math>f</math> una funció contínua a l'interval <math>[a, b]</math>

Sigui <math>g</math> una funció diferenciable en l'interval <math>[a,b] </math> tal que <math>g'(x)=f(x) {\ }\forall x \in [a,b] </math>

Tesi:

Demostració:

Sigui

<math>F(x)= \int_a^x f(t)dt </math>.

Tenim pel primer teorema fonamental del càlcul que:

<math>F'(x)=f(x)=g'(x) {\ } \forall x \in [a,b]</math>.

Per tant:

<math>\exists c \in \mathbb{R} {\ }</math> tal que <math>\forall x \in [a,b], F(x)=g(x) + c</math>.

Observam que:

I d'aqui se segueix que <math>c=-g(a)</math>; per tant:

<math>F(x) = g(x) - g(a)</math>.

I en particular si <math>x=b</math> tenim que:

Exemples

Vegeu també