Unió

Per a altres significats vegeu «Unió (desambiguació)».

La unió és una operació entre conjunts. Aquesta operació crea un conjunt, anomenat conjunt unió, al qual pertanyen tots els elements que pertanyen a qualsevol dels conjunts que s'uneixen. S'expressa amb el símbol <math>\cup</math>.

Per exemple:

Donat A={a,e,i,s} i B={a,e,f,h}, si definim <math>C=A\cup B</math>, llavors C={a,e,i,s,f,h}. <math>C=A\cup B</math> es llegeix: el conjunt C és igual a la unió dels conjunts A i B. També es pot llegir: C és el conjunt unió dels conjunts A i B.

Propietats de la unió

Propietat idempotent

Quan unim un conjunt amb si mateix, el conjunt unió és el mateix conjunt.

<math>A\cup A=A</math>

Element neutre

El conjunt buit <math>\phi \ </math> és l'element neutre de la unió.

<math>A\cup \phi =A</math>

Propietat commutativa

El conjunt unió resultant és indiferent a l'ordre amb que s'uneixen els conjunts.

<math>A\cup B=B \cup A</math>

Propietat associativa

El conjunt unió resultant quan unim més de dos conjunts, és indiferent a la jerarquia amb que es facin les unions.

<math>A\cup B \cup C=(A\cup B )\cup C=A\cup (B \cup C)</math>

Unió de complementaris

Si tenim un conjunt A i el seu complementari <math>\overline{A}</math>, respecte d'un conjunt R, R és el conjunt unió de A i <math>\overline{A}</math>.

<math>A \cup \overline{A} = R</math>

Unió de subconjunts

Si unim un conjunt A amb un subconjunt B, el conjunt unió és A.

Si tenim els conjunts A i B tal que <math>A\supset B</math> (A inclou B), llavors <math>A \cup B=A</math>

Relacions entre la unió i la intersecció: Propietat distributiva

La unió i la intersecció es poden relacionar mitjançant la propietat distributiva. Existeixen dues possibles versions d'aquesta propietat.

• La unió d'un conjunt amb un conjunt intersecció és igual a unir el primer conjunt amb els diferents conjunts que formen el conjunt intersecció, i fer la intersecció entre tots els conjunts unió resultants. És molt més entenedor escrit simbòlicament:

<math>A \cup ( B \cap C \cap D ...) = (A \cup B) \cap (A \cup C) \cap (A \cup D)</math> ...

• També es pot aplicar aquesta propietat intercanviant les interseccions i les unions:

<math>A \cap ( B \cup C \cup D ...) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \cup (A \cap D)</math> ...

Plantilla:Sister