Forma bilineal
Siguin <math>V \,</math> i <math>W \,</math> objectes matemàtics qualsevol, tots dos amb estructura lineal, l'un per l'esquerra i l'altre per la dreta, sobre un altre objecte <math>K</math> amb estructura aritmètica. Típicament <math>V \,</math> i <math>W \,</math> són dos <math>K</math>-mòduls, l'un per l'esquerra i l'altre per la dreta, sobre un anell <math>K</math>, o dos espais vectorials, igualment l'un per l'esquerra i l'altre per la dreta, sobre un cos <math>K</math>. Una forma bilineal <math>\omega</math> és una aplicació
| <math>\omega: V \times W \longrightarrow K \,</math> |
del producte cartesià dels objectes <math>V \,</math> i <math>W \,</math> a l'objecte <math>K \,</math> que compleix el requeriment de linealitat a les dues components:
|
<math> \omega(\lambda x + \mu y, z) = \lambda \omega(x, z) + \mu \omega(y, z) \,,\quad x, y \in V \,,\quad z \in W \,,\quad \lambda, \mu \in K \,</math> |
|
<math> \omega(x, z\lambda + t\mu) = \omega(x, z)\lambda + \omega(x, t)\mu \,,\quad x \in V \,,\quad z, t \in W \,,\quad \lambda, \mu \in K \,</math> |
Notació
Si <math>\omega</math> és una forma bilineal i <math>x \in V</math> i <math>y \in W</math>, hom sol usar la notació
|
<math> \langle x, y \rangle_{\omega} \,</math> |
per expressar el valor <math>\omega(x, y)\,</math> de la forma <math>\omega\,</math> en la parella <math>(x, y)\,</math>, és a dir, <math>\langle x, y \rangle_{\omega} = \omega(x, y) \,</math> i, si en el context no hi ha ambigüitat, hom pot prescindir del símbol que nombra la forma <math>\omega</math> :
|
<math> \langle x, y \rangle \,</math> |
Formes bilineals degenerades i no degenerades
Els conjunts
|
<math> N_{V} = \left\{x \in V, \forall y \in W, \langle x, y \rangle = 0\right\} \,,\quad N_{W} = \left\{y \in W, \forall x \in V, \langle x, y \rangle = 0\right\} \,</math> |
són els submòduls nuls (subespais nuls) de la forma bilineal. Si <math>N_{V} = \{0\} \,</math> i <math>N_{W} = \{0\} \,</math> aleshores la forma bilineal es diu no degenerada i degenerada en cas contrari. Si la forma és degenerada i <math>\pi_{V}: V \longrightarrow V/N_{V} \,</math> i <math>\pi_{W}: W \longrightarrow W/N_{W} \,</math> són les respectives projeccions canòniques, la forma bilineal
|
<math> \tilde{\omega}: V/N_{V} \times W/N_{W} \longrightarrow K \,</math> |
|
<math> \langle \pi_{V}(x), \pi_{W}(y) \rangle = \langle x, y \rangle \,</math> |
és no degenerada.
Formes bilineals simètriques i alternades
Si <math>V = W \,</math> i <math>K \,</math> és commutatiu, té sentit definir com a forma bilineal simètrica aquella que compleix
|
<math> \langle x, y \rangle = \langle y, x \rangle \,</math> |
i com a forma bilineal alternada la que compleix
|
<math> \forall x \in V, \quad \langle x, x \rangle = 0 \in K \,</math> |
Per a una forma bilineal alternada, si <math>x, y \in V \,</math>, tenim
|
<math> \begin{align} 0 &= \langle x + y, x + y \rangle = \langle x, x + y \rangle + \langle y, x + y \rangle = \\ &= \langle x, x \rangle + \langle x, y \rangle + \langle y, x \rangle + \langle y, y \rangle = \\ &= \langle x, y \rangle + \langle y, x \rangle \end{align} \,</math> |
que implica
|
<math> \langle x, y \rangle = - \langle y, x \rangle \,</math> |
En canvi, de l'última igualtat no es pot deduir que <math>\langle x, x \rangle = 0 \,</math>, si no és que la característica de <math>K \,</math> és diferent de 2: la condició <math>\langle x, x \rangle = 0 \,</math> és, doncs, més restrictiva que la condició <math>\langle x, y \rangle = - \langle y, x \rangle</math>.
Matriu d'una forma bilineal
Si <math>V \,</math> i <math>W \,</math> són mòduls lliures finitament generats, o bé, espais vectorials de dimensió finita i <math>\mathcal{B}_V = \left\{v_1, \ldots v_m \right\}</math> i <math>\mathcal{B}_W = \left\{w_1, \ldots w_n \right\}</math> en són bases respectives, una forma bilineal <math>\omega: V \times V^{\ast} \longrightarrow K \,</math> queda determinada pels <math>m \times n</math> valors
|
<math> \langle v_i, w_j \rangle_{\omega} \,,\quad i = 1, \ldots, m \,,\quad j = 1, \ldots, n \,</math> |
Si es disposen aquests <math>m \times n</math> valors en una matriu de <math>n</math> files i <math>m</math> columnes,
|
<math> M = \left(\langle v_i, w_j \rangle_{\omega}\right) \,,\quad i = 1, \ldots, m \,,\quad j = 1, \ldots, n \,</math> |
aleshores el càlcul de <math>\langle v, w \rangle_{\omega}</math> és
|
<math> \langle v, w\rangle = w^{T} M v \,</math> |
on <math>w^{T}</math> és el transposat de <math>w</math>, és a dir, amb les components escrites en una fila, en lloc de en una columna.
En canvi, si la matriu és de <math>m</math> files i <math>n</math> columnes, és a dir, la matriu transposada de la matriu <math>M</math>, el càlcul és
|
<math> \langle v, w\rangle = v^{T} M^{T} w \,</math> |
Exemples
L'àrea d'un paral·lelogram
Sigui <math>V_2</math> l'espai vectorial dels vectors del pla sobre el cos dels nombres reals i sigui <math>\mathcal{B} \,</math> una base d'aquest espai. L'aplicació que fa correspondre a cada parella de vectors l'àrea del paral·lelogram que determinen, mesurada tot prenent l'àrea del paral·lelogram que determinen els vectors de la base <math>\mathcal{B} \,</math> com a unitat de mesura és una forma bilineal <math>V_2 \times V_2 \longrightarrow \mathbb{R} </math>. Com que, a més, un vector qualsevol i ell mateix determinen un paral·lelogram d'àrea zero, es tracta d'una forma bilineal alternada, que no és altra que el determinant de dos vectors de <math>V_2</math>.
El producte escalar euclidià
El producte escalar en un espai euclidià és una forma bilineal simètrica. En efecte, si escrivim el producte <math>\vec{x} \cdot \vec{y} \,</math> en la forma <math>\langle \vec{x}, \vec{y} \rangle \,</math>, pròpia de les formes bilineals, les propietats del producte escalar i tenim en compte la conmutativitat de <math>\mathbb{R}</math>,
|
<math> (x + y) \cdot z = x \cdot z + y \cdot z \,,\quad x \cdot (y + z) = x \cdot y + x \cdot z \,</math> |
|
<math> (\lambda x) \cdot y = x \cdot (\lambda y) = \lambda (x \cdot y) \,</math> |
|
<math> x \cdot y = y \cdot z \,</math> |
obtenim
|
<math> \langle x + y, z \rangle = \langle x, z \rangle + \langle y, z \rangle \,,\quad \langle x, (y + z) \rangle = \langle x, y \rangle + \langle x, z \rangle \,</math> |
|
<math> \langle \lambda x, y \rangle = \langle x, \lambda y \rangle = \lambda \langle x, y \rangle \,</math> |
|
<math> \langle x, y \rangle = \langle y, z \rangle \,</math> |
i és clar que es tracta d'una forma bilineal simètrica.
Còniques i quàdriques
Una quàdrica o superfície quàdrica és una hipersuperfície definida en un espai vectorial n-dimensional pels punts que anul·len un polinomi quadràtic de n variables:
|
<math> \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{i} P_{ij} x_{i} x_{j} + \sum_{k=1}^{n} Q_{k} x_{k} + R = 0 \,</math> |
L'estudi i la classificació de cada quàdrica se sol fer a partir de l'estudi de la forma bilineal simètrica de matriu
|
<math> \begin{pmatrix} P_{11} & P_{12}/2 & \ldots & P_{1n}/2 \\ P_{21}/2 & P_{22} & \ldots & P_{2n}/2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ P_{n1}/2 & P_{n2}/2 & \ldots & P_{nn} \end{pmatrix} \,</math> |
obtinguda a partir dels coeficients dels termes de segon grau de l'equació de la quàdrica en estudi.
Mòduls o espais duals
Si <math>V</math> és un <math>>K</math>-mòdul i <math>V^{\ast}</math> és el seu mòdul dual, l'aplicació
|
<math> \omega: V \times V^{\ast} \longrightarrow K \,</math> |
|
<math> \langle x, \varphi \rangle_{\omega} = \langle x, \varphi \rangle \,</math> |
que a la parella <math>(x, \varphi)</math> li fa correspondre el valor <math>\langle x, \varphi \rangle</math> de la forma <math>\varphi</math> en l'element <math>x \in V</math> és òbviament una forma bilineal.