Gradient (matemàtiques)
En càlcul vectorial, el gradient <math>\nabla f</math> d'un camp escalar <math>f</math> és un camp vectorial que indica en cada punt del camp escalar la direcció del màxim increment d'ell mateix. El gradient es representa mitjançant l'operador diferencial nabla <math>\nabla</math> seguit de la funció.
Definició
Un gradient d'un camp escalar en un punt és el vector definit com l'únic que permet trobar la derivada direccional en qualsevol direcció com a
- <math>
\frac{\partial \phi}{\partial n} = (\rm grad \phi)\cdot \hat n </math>
on <math>\hat n</math> és un vector unitari i <math>\partial\phi/\partial n</math> la derivada direccional de <math>\phi</math> en la direcció de <math>\hat n</math> (que informa sobre la raó de variació del camp escalar al desplaçar-nos segons aquesta direcció):
- <math>
\frac{\partial \phi}{\partial n} \equiv \lim_{\epsilon\to 0} \frac{\phi(\vec r + \epsilon \hat{n})-\phi(\vec r)}{\epsilon} </math>
Una forma equivalent de definir el gradient és com l'únic vector que, multiplicat per qualsevol desplaçament infinitesimal, dóna el diferencial del camp escalar
- <math>
d\phi = \phi\left(\vec r + d\vec r\right)-\phi\left(\vec r\right) = \nabla\phi\cdot d\vec r </math>
Amb la definició anterior, el gradient està caracteritzat de forma unívoca.
El gradient s'expressa alternativament mitjançant l'ús de l'operador nabla
- <math>
{\rm grad}\phi = \nabla\phi </math>
Propietats
El gradient verifica que:
- És ortogonal a les superfícies definides per <math>\phi\,\!</math> = ct.
- Apunta en la direcció en que la derivada direccional és màxima.
- El seu mòdul és igual a la derivada direccional màxima.
- S'anul·la en els punts estacionaris màxims, mínims.
- El camp format pel gradient en cada punt és sempre irrotacional, és a dir, <math>\nabla\times(\nabla\phi) \equiv \vec{0}</math>
Expressió en diferents sistemes de coordenades
A partir de la definició de gradient, es pot trobar l'expressió en diferents sistemes de coordenades. Així, en coordenades cartesianes, és
- <math>\nabla \phi = \begin{pmatrix}
{\frac{\partial \phi}{\partial x}}, {\frac{\partial \phi}{\partial y}}, {\frac{\partial \phi}{\partial z}} \end{pmatrix}</math>
En un sistema de coordenades ortogonals, el gradient necessita els factors d'escala, mitjançant l'expressió
- <math>
\nabla\phi = \frac{1}{h_1}\frac{\partial \phi}{\partial q_1}\hat{q}_1 +\frac{1}{h_2}\frac{\partial \phi}{\partial q_2}\hat{q}_2+ \frac{1}{h_3}\frac{\partial \phi}{\partial q_3}\hat{q}_3 </math>
Per coordenades cilíndriques (<math>h_\rho=h_z=1</math>, <math>h_\varphi=\rho</math>) resulta
- <math>
\nabla\phi = \frac{\partial \phi}{\partial \rho}\hat{\rho} +\frac{1}{\rho}\frac{\partial \phi}{\partial \varphi}\hat{\varphi}+ \frac{\partial \phi}{\partial z}\hat{z} </math>
i finalment per coordenades esfèriques (<math>h_r=1</math>, <math>h_\theta=r</math>, <math>h_\varphi=r {\rm sin}\theta</math>)
- <math>
\nabla\phi = \frac{\partial \phi}{\partial r}\hat{r} +\frac{1}{r}\frac{\partial \phi}{\partial \theta}\hat{\theta}+ \frac{1}{r\,{\rm sin}\,\theta}\frac{\partial \phi}{\partial \varphi}\hat{\varphi} </math>
Exemple
Donada la funció <math>\phi=2x+3y^2-\sin(z)</math>, el seu gradient associat és:
- <math>\nabla \phi = \begin{pmatrix}
{\frac{\partial \phi}{\partial x}}, {\frac{\partial \phi}{\partial y}}, {\frac{\partial \phi}{\partial z}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {2}, {6y}, {-\cos(z)} \end{pmatrix}.</math>