Divergència

En càlcul vectorial, s'anomena divergència a l'operador que mesura la tendència d'un camp vectorial per originar-se o convergir a un determinat punt. Per exemple, per un camp vectorial que denoti la velocitat del fluxe de l'aigua escolant-se per una banyera, la divergència tindria valor negatiu al forat de la banyera, ja que l'aigua se'n va per allà (si només considerem dues dimensions); lluny del forat, la divergència seria zero, ja que no hi ha cap més pèrdua o font d'aigua.

Un camp vectorial que té divergència zero s'anomena solenoïdal.

Definició

Sigui x, y, z un sistema de coordenades cartesianes en un espai euclidià de dimensió tres, i siguin i, j, k les bases dels vectors unitat corresponents.

La divergència d'un camp vectorial diferenciable continu

F = F_x i + F_y j + F_z k

es defineix com la funció de valor escalar

<math>\operatorname{div}\,\mathbf{F}

=\frac{\partial F_x}{\partial x} +\frac{\partial F_y}{\partial y} +\frac{\partial F_z}{\partial z}. </math>

Encara que s'expressi en termes de coordenades, el resultat és invariant sota transformades ortogonals, tal i com suggereix la interpretació física.

Una altra notació comú de la divergència és ∇·F. Veure en aquest sentit operador nabla.

Interpretació física

En termes físics, la divergència d'un camp vectorial és l'abast en el que el fluxe d'un camp vectorial es comporta com una font o un desguàs en un punt determinat. De fet, una alternativa dóna la divergència com la derivada del fluxe net d'un camp vectorial a través de la superfície d'una esfera petita relativa amb el volum de l'esfera. Concretament,

<math>( \operatorname{div}\,\mathbf{F}) (p) =

\lim_{r \rightarrow 0} \int_{S(r)} {\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}dS \over \frac{4}{3} \pi r^3 }</math>

on S(r) denota l'esfera de radi r al punt p en R³, i la integral és la integral de superfície respecte de n, la normal a l'esfera.

Per la interpretació física, un camp vectorial amb divergència constant zero s'anomena incomprimible – en aquest cas, no hi pot haver cap fluxe net a través de cap superfície tancada.

Propietats

Les propietats següents deriven totes de les regles de diferenciabilitat ordinària del càlcul. La més important, la divergència és un operador lineal,

<math>\operatorname{div}( a\mathbf{F} + b\mathbf{G} )

= a\;\operatorname{div}( \mathbf{F} ) + b\;\operatorname{div}( \mathbf{G} ) </math>

per tots els camps vectorials F i G i tots els nombres reals a i b.

Hi ha una norma de producte del tipus següent; si φ és una funció de valor escalar, i F és un camp vectorial, llavors

<math>\operatorname{div}(\varphi \mathbf{F})

= \operatorname{grad}(\varphi) \cdot \mathbf{F} + \varphi \;\operatorname{div}(\mathbf{F}), </math>

o en notació més suggestiva

<math>\nabla\cdot(\varphi \mathbf{F})

= (\nabla\varphi) \cdot \mathbf{F} + \varphi \;(\nabla\cdot\mathbf{F}). </math>

Una altra regla del producte pel producte escalar de dos camps vectorials F i G en tres dimensions implica el rotacional, que és:

<math>\operatorname{div}(\mathbf{F}\times\mathbf{G})

= \operatorname{rot}(\mathbf{F})\cdot\mathbf{G} \;-\; \mathbf{F} \cdot \operatorname{rot}(\mathbf{G}),</math>

o bé

<math>\nabla\cdot(\mathbf{F}\times\mathbf{G})

= (\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{G} - \mathbf{F}\cdot(\nabla\times\mathbf{G}).</math>

El Laplacià d'un camp escalar és la divergència del gradient del camp.

La divergència del rotacional de qualsevol camp vectorial (en tres dimensions) és constant i val zero.

<math>\nabla\cdot(\operatorname{rot}(\mathbf{F})) = 0.</math>

Al contrari, si tens un camp vectorial F amb divergència nul·la definit en una bola en R³, llavors existeix algun camp vectorial F en aquesta bola amb F = rot(G). Per regions en R³ més complicades que boles, l'última afirmació pot no ser veritat.

Vegeu també