Taula de derivades

En el procés de càlcul de derivades o diferenciació, es pot obtenir la derivada de qualsevol funció elemental emprant les regles de derivació i la taula de derivades de les funcions base a partir de les quals es construeixen la resta de funcions elementals.

Les derivades d'aquestes funcions base s'obtenen normalment a partir de la definició de derivada, aplicant les propietats de cada funció i amb les tècniques de càlcul de límits.

Taula de derivades

Funció F: primitiva de f	Funció f: derivada de F
Funcions elementals
<math>f(x) = k \,</math>	<math>f'(x) = 0 \,</math>
<math>f(x) = x \,</math>	<math>f'(x) = 1 \,</math>
<math>f(x) = x^n \,</math>	<math>f'(x) = nx^{n-1} \,</math>
<math>f(x) = \sqrt{x} \,</math>	<math>f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \,</math>
<math>f(x) = e^x \,</math>	<math>f'(x) = e^x \,</math>
<math>f(x) = \ln(x) \,</math>	<math>f'(x) = \frac{1}{x} \,</math>
<math>f(x) = a^x \quad \text{(amb } a > 0) \,</math>	<math>f'(x) = a^x \ln(a) \,</math>
<math>f(x) = \log_{b}(x) \,</math>	<math>f'(x) = \frac{1}{x \ln (b)} \,</math>
<math>f(x) = \frac{1}{x^n} = (x^n)^{-1} = x^{-n} \,</math>	<math>f'(x) = -nx^{-n-1} \,</math>
Funcions trigonomètriques
<math>f(x) = \sin(x) \,</math>	<math>f'(x) = \cos(x) \,</math>
<math>f(x) = \cos(x) \,</math>	<math>f'(x) = -\sin(x) \,</math>
<math>f(x) = \operatorname{tg}(x) \,</math>	<math>f'(x) = \sec^2(x) \,</math>
<math>f(x) = \sec(x) \,</math>	<math>f'(x) = \sec(x)\operatorname{tg}(x) \,</math>
<math>f(x) = \operatorname{cosec}(x) \,</math>	<math>f'(x) = -\operatorname{cosec}(x)\operatorname{cotg}(x) \,</math>
<math>f(x) = \operatorname{cotg}(x) \,</math>	<math>f'(x) = -\operatorname{cosec}^2(x) \,</math>
<math>f(x) = \arcsin(x) \,</math>	<math>f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \,</math>
<math>f(x) = \arccos(x) \,</math>	<math>f'(x) = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} \,</math>
<math>f(x) = \operatorname{arctg}(x) \,</math>	<math>f'(x) = \frac{1}{1+x^2} \,</math>
Funcions hiperbòliques
<math>f(x)= \sinh x \,</math>	<math>f'(x) = \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}\,</math>
<math>f(x) = \operatorname{arsinh}\,x \,</math>	<math>f'(x) = { 1 \over \sqrt{x^2 + 1}} \,</math>
<math>f(x) = \cosh x \,</math>	<math>f'(x) = \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2} \,</math>
<math>f(x) = \operatorname{arcosh}\,x \,</math>	<math>f'(x) = {\frac {1}{\sqrt{x^2-1}}} \,</math>
<math>f(x) = \operatorname{tgh}\,x \,</math>	<math>f'(x) = {\operatorname{sech}^2\,x} \,</math>
<math>f(x) = \operatorname{artgh}\,x \,</math>	<math>f'(x) = { 1 \over 1 - x^2} \,</math>
<math>f(x) = \operatorname{sech}\,x \,</math>	<math>f'(x) = - \operatorname{tgh}\, x\,\operatorname{sech}\,x \,</math>
<math>f(x) = \operatorname{arsech}\,x \,</math>	<math>f'(x) = -{1 \over x\sqrt{1 - x^2}}\,</math>
<math>f(x) = \operatorname{cosech}\,x \,</math>	<math>f'(x) = -\,\operatorname{cotgh}\,x\,\operatorname{cosech}\,x \,</math>
<math>f(x) = \operatorname{arcosech}\,x</math>	<math>f'(x) = -{1 \over |x|\sqrt{1 + x^2}}\,</math>
<math>f(x) = \operatorname{cotgh}\,x \,</math>	<math>f'(x) = -\,\operatorname{cosech}^2\,x \,</math>
<math>f(x) = \operatorname{arcotgh}\,x \,</math>	<math>f'(x) = { 1 \over 1 - x^2} \,</math>

Funcions especials

Funció Gamma <math>(\Gamma(x))' = \int_0^\infty t^{x-1} e^{-t} \ln t\,dt</math> <math>(\Gamma(x))' = \Gamma(x) \left(\sum_{n=1}^\infty \left(\ln\left(1 + \dfrac{1}{n}\right) - \dfrac{1}{x + n}\right) - \dfrac{1}{x}\right) = \Gamma(x) \psi(x)</math>

Funció zeta de Riemann <math>(\zeta(x))' = -\sum_{n=1}^\infty \frac{\ln n}{n^x} = -\frac{\ln 2}{2^x} - \frac{\ln 3}{3^x} - \frac{\ln 4}{4^x} - \cdots \!</math> <math>(\zeta(x))' = -\sum_{p \text{ primer}} \frac{p^{-x} \ln p}{(1-p^{-x})^2}\prod_{q \text{ primer}, q \neq p} \frac{1}{1-q^{-x}} \!</math>

Demostracions

Derivada d'una constant

Article principal: Derivada d'una constant

En el cas de la funció constant la seva gràfica és una recta horitzontal i per tant té pendent zero a tot arreu, aquest resultat també s'obté directament en aplicar la definició de derivada a la funció constant: f(x)=c.

<math>f'( x) =\lim_{h\to 0} \frac{f( x+h)-f( x)}{h} =\lim_{h\to 0} \frac{c-c}{h}=0</math>.

Derivada d'una potència entera

En cas que <math>f( x)=x^{n}</math>, s'obté:

<math>

f'( x) =\lim_{h\to 0} \frac{f( x+h)-f( x)}{h} =\lim_{h\to 0} \frac{( x+h)^{n}-x^{n}}{h}</math>.

Aplicant la fórmula del binomi de Newton, agrupant els termes que tenen h elevada a una potència superior a 2 i traient h² factor comú d'aquests termes, resulta:

<math>f'( x)=\lim_{h\to 0}\frac{( x^{n}+nhx^{n-1}+h^{2}R )-x^{n}}{h}</math>

A partir d'aquí, operant s'obté:

<math>f'( x)=\lim_{h\to 0}nx^{n-1}+hR =nx^{n-1}+\lim_{h\to 0}hR =nx^{n-1}+0 </math>.

Derivada d'una potència real

Pel càlcul de la derivada d'una potència real primer es transforma l'expressió:

<math>x^{r}=e^{r\ln \left( x \right)}</math>

Llavors s'aplica la regla de la cadena:

<math>D\left( f\circ g \right)=\left[ \left( Df \right)\circ g \right]Dg</math>

Amb

<math>f=e^{x}\quad g=r\ln \left( x \right)</math>

D'aquí, operant, i tenint en compe la derivada de la funció exponencial (veure més endavant) resulta:

<math>\begin{align}

Dx^{r}& =De^{r\ln \left( x \right)} \\ 
& =\left[ \left( e^{x} \right)\circ r\ln \left( x \right) \right]\frac{r}{x} \\ 
& =\frac{r}{x}e^{r\ln \left( x \right)} \\ 
& =\frac{r}{x}x^{r} \\ 
& =rx^{r-1} 

\end{align}</math> Aquesta expressió, és formalment idèntica al cas de la potència entera.

Pel cas particular de <math>r=1/2</math> resulta:

<math>\begin{align}

f\left( x \right) & =\sqrt{x} \\ 
& =x^{1/2} 

\end{align}</math> Per tant: <math>\begin{align}

{f}'\left( x \right) & =\frac{1}{2}x^{\left( \frac{1}{2}-1 \right)} \\ 
& =\frac{1}{2}x^{\left( -\frac{1}{2} \right)} \\ 
& =\frac{1}{2x^{1/2}} \\ 
& =\frac{1}{2\sqrt{x}} 

\end{align}</math>

Derivada de la funció logaritme

Pel cas de <math>f\left( x \right)=\lg _{a}\left( x \right)</math>, aplicant la definició de derivada i ficant els termes dins de la funció logaritme s'obté:

<math>\begin{align}

{f}'\left( x \right) & =\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\lg _{a}\left( x+h \right)-\lg _{a}\left( x \right)}{h} \\ 
& =\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\lg _{a}\left( \frac{x+h}{x} \right)^{\frac{1}{h}} \\ 
& =\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\lg _{a}\left( 1+\frac{h}{x} \right)^{\frac{1}{h}} 

\end{align}</math> Aquesta expressió es pot transformar de la següent manera:

<math>\begin{align}

{f}'\left( x \right) & =\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\lg _{a}\left[ \left( 1+\frac{1}{\frac{x}{h}} \right)^{\frac{x}{h}} \right]^{\frac{1}{x}} \\ 
& =\frac{1}{x}\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\lg _{a}\left( 1+\frac{1}{\frac{x}{h}} \right)^{\frac{x}{h}} \\ 
& =\frac{1}{x}\lg _{a}\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( 1+\frac{1}{\frac{x}{h}} \right)^{\frac{x}{h}} 

\end{align}</math> Però quant h tendeix a zero x/h tendeix a infinit (si x>0), per tant el límit es pot calcular tenint en compte la definició del nombre e:

<math>\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( 1+\frac{1}{\frac{x}{h}} \right)^{\frac{x}{h}}=\underset{y\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( 1+\frac{1}{y} \right)^{y}=e</math>

Per tant la derivada de la funció logaritme és:

<math>{f}'\left( x \right)=\frac{1}{x}\lg _{a}\left( e \right)</math>

O el que és el mateix:

<math>{f}'\left( x \right)=\frac{1}{\ln \left( a \right)}\frac{1}{x}</math>

tenint en compte que:

<math>\lg _{a}\left( e \right)=\frac{1}{\ln \left( a \right)}</math>

Com es pot comprovar plantejant:

<math>\begin{align}

a^{\lg _{a}\left( e \right)\lg _{e}\left( a \right)} & =\left( a^{\lg _{a}\left( e \right)} \right)^{\lg _{e}\left( a \right)} \\ 
& =e^{\lg _{e}\left( a \right)} \\ 
& =a \\ 
\Rightarrow \lg _{a}\left( e \right)\lg _{e}\left( a \right) &=1 \\ 
\Rightarrow \lg _{a}\left( e \right) &=\frac{1}{\ln \left( a \right)} 

\end{align}</math>

En el cas particular del logaritme natural:

<math>f\left( x \right)=\ln \left( x \right)\Rightarrow {f}'\left( x \right)=\frac{1}{x}\ln \left( e \right)=\frac{1}{x}</math>

Derivada de la funció exponencial

Com que la funció exponencial és la inversa de la funció logaritme, s'aplica la regla de la derivada de la funció inversa:

<math>\left[ f^{-1} \right]^{\prime }\left( x \right)=\frac{1}{{f}'\left[ f^{-1}\left( x \right) \right]}</math>

Amb:

<math>f\left( x \right)=\lg _{a}\left( x \right)\quad {f}'\left( x \right)=\frac{1}{x}\lg _{a}\left( e \right)\quad f^{-1}\left( x \right)=a^{x}</math>

Substituint i operant resulta:

<math>\begin{align}

\left[ a^{x} \right]^{\prime }& =\frac{1}{\left[ \frac{1}{x}\lg _{a}\left( e \right) \right]\circ \left[ a^{x} \right]} \\ 
& =\frac{1}{\frac{1}{a^{x}}\lg _{a}\left( e \right)} \\ 
& =\frac{a^{x}}{\lg _{a}\left( e \right)} 

\end{align}</math> O el que és el mateix:

<math>\left[ a^{x} \right]^{\prime }=\ln \left( a \right)a^{x}</math>

Pel cas particular de què <math>a=e</math> resulta:

<math>\left[ e^{x} \right]^{\prime }=\frac{e^{x}}{\lg _{e}\left( e \right)}=\frac{e^{x}}{1}=e^{x}</math>

Derivada de les funcions trigonomètriques

Article principal: Derivació de les funcions trigonomètriques

Les derivades de les funcions sinus i cosinus es troben a partir de la definició de derivada, aplicant les identitats trigonomètriques de la suma de raons trigonomètriques

<math>\sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta\,</math>

<math>\cos ( \alpha +\beta) =\cos \left( \beta \right) \cos \left( \alpha \right) -\sin \left( \beta \right) \sin ( \alpha ) </math>

i les identitats trigonomètriques

<math>\lim_{\theta \to 0}{\frac{\sin \theta}{\theta}} = 1</math>

<math>\lim_{\theta \to 0}\frac{1 - \cos \theta}{\theta} = 0\,</math>

Un cop s'han trobat les derivades del sinus i del cosinus la derivada de la tangent es calcula aplicant la regla del quocient a la identitat trigonomètrica:

<math>\operatorname{tg} ( x )=\frac{\sin ( x )}{\cos ( x )}</math>

A partir d'aqui es troben les derivades de les funcions cotangent, secant i cosecant aplicant la Regla de la raó inversa d'una funció a les identitats:

<math>\operatorname{cotg}( x)=\frac{1}{\operatorname{tg}( x)}\quad \sec( x)=\frac{1}{\cos \left( x \right)}\quad i\quad \operatorname{cosec} ( x)=\frac{1}{\sin ( x )}</math>

Els detalls de tot el procés es troben a l'article Derivació de les funcions trigonomètriques

Derivada de les funcions inverses de les funcions trigonomètriques

Article principal: Derivada de la funció inversa §  Derivada de les inverses de les funcions trigonomètriques

La derivada de les inverses de les funcions trigonomètriques es calculen aplicant la regla de la funció inversa a cada una de les funcions trigonomètriques i simplificant el resultat.

Vegeu també

• Regla de la cadena
• Derivació de les funcions trigonomètriques
• Derivada de la funció inversa

Referències

http://www.edicionsupc.cat/virtuals/caplln/ME01007X.htm#

Enllaços externs

Taula de derivades