Vector (física)
A física un vector és un concepte matemàtic que s'utilitza per descriure magnituds tals com velocitats, acceleracions o forces, en les quals és important considerar no només el valor sinó també la direcció i el sentit. Es representa per un segment orientat per denotar el seu sentit, la seva magnitud (la longitud de la fletxa) i el punt d'aplicació.
Propietats
Els vectors es poden representar amb lletres, amb una fletxa damunt, així: <math>\vec{a}</math>.
Un vector te les següents propietats:
-Punt d'aplicació, és l'origen del segment.
-Mòdul, expressa el valor numèric de la magnitud vectorial. Es representa per la longitud del segment, sempre en valor absolut. Per exemple, si es vol expressar que el mòdul de <math>\vec{a}</math> val 5 unitats, es fa així: <math>|\vec{a}|=5u</math>.
-Direcció, que és la del segment. A la recta que conté el vector se l'anomena línia d'acció.
-Sentit, distingeix dos sentits sobre la línia d'acció.
Es diu que dos vectors son concurrents quan tenen el mateix punt d'aplicació.
Un vector oposat a un altre és el que té el mateix punt d'aplicació, mòdul i direcció però sentit contrari. Aixi el vector oposat a <math>\vec{a}</math> és <math>-\vec{a}</math>.
Expressat amb les fórmules, donat un vector <math>\vec{r}</math> de coordenades (x,y,z) <math>\vec{r}=(x,y,z)</math>) el seu mòdul és <math>|\vec{r}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}</math>. La seva direcció està donada per la recta que conté el vector i el sentit pot ser cap a un costat o cap a l'altre.
També es pot separar un vector en mòdul i donar la direcció i sentit amb un vector unitari que es calcula com: <math>\vec{r_U} = \frac{x_i + y_j + z_k}{|\vec{r}|}</math>, essent i,j,k els vectors (1,0,0), (0,1,0)i (0,0,1) respectivament.
Suma i resta de vectors
Mètode gràfic
Per la suma i resta de vectors s'ha de tenir en compte, a més a més de la magnitud escalar o mòdul, el sentit i la direcció dels vectors.
Mètode analític
Mòdul resultant
Donats dos vectors <math>\vec{a}</math> i <math>\vec{b}</math>, de mòduls coneguts i que formen l'angle <math>\theta</math> entre sí, es pot obtenir el mòdul <math>\left|\vec{a}+\vec{b}\right|</math> amb la següent fórmula:
<math>\left| \vec{a} + \vec{b} \right| = \sqrt{\left. | \vec{a} \right|^2 + \left| \vec{b} \right|^2 + 2| \vec{a} | \left| \vec{b} \right| \cos \theta }</math>
Obtenció de la Direcció
Per obtenir els angles <math>\alpha, \beta</math> directors hem de coneixer l'angle <math>\theta</math> i tenir calculat <math>\left|\vec{a}+\vec{b}\right|</math> .
Podem emprar aquesta fórmula:
<math>\frac{|\vec{b}|}{sen \alpha }=\frac{|\vec{a}|}{sen \beta }=\frac{\left|\vec{a}+\vec{b}\right|}{sen \theta }</math>
Amb la fórmula obtindrem els sinus, després per trobar l'angle a partir del sinus hem de tenir en compte que:
<math>\alpha + \beta = \theta</math>
Angle entre dos vectors
Per calcular l'angle entre dos vectors s'empra la següent fórmula:
<math> \cos \theta = \frac {a_1b_1 + a_2b_2} {ab} </math>
El qual es pot generalitzar a qualsevol dimensió:
<math> \cos \theta = \frac {a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 + ... + a_nb_n} {ab} </math>
Quan es tracta algebraicament en un espai vectorial l'angle entre dos vectors està donat per:
<math> \cos \theta = \frac {|<a,b>|}{||a||.||b||}</math>
Essent <,> el producte escalar definit dins el mateix espai vectorial.
Vegeu també
Enllaços externs
- Juga amb vectors (castellà)
da:Vektor (matematik)
en:Vector (spatial)
ja:ベクトル (数学)
pt:Vector (espacial)
ro:Vector (spaţial)
sv:Vektor (matematik)
uk:Вектор