Cònica

Una secció cònica o cònica és una corba definida en un pla, pels punts que anul·len un polinomi quadràtic de la forma:

.

on A, B i C no són tots tres nuls.

Les seccions còniques són exactament aquelles corbes que, per a un punt F , una línia de L que no conté F i un nombre no negatiu e, són els lloc geomètric dels punts la distància dels quals a F és igual a e vegades la seva distància a L . F s'anomena focus, L la directriu, i e l' excentricitat .

L'excentricitat lineal (c ) és la distància entre el centre i el focus (o qualsevol dels dos focus).

El latus rectum (2ℓ) és la corda paral·lela a la directriu i que passa pel focus (o qualsevol dels dos focus).

El semi-latus rectum (ℓ) és la meitat del latus rectum.

El paràmetre focal ( p ) és la distància des del focus (o qualsevol dels dos focus) a la directriu.

Les següents relacions mantenen:

<math>p e = \ell \, </math>
<math>a e = c. \, </math>

.

Diversos paràmetres s'associen amb una secció cònica, com es mostra en la taula següent. (Per a la el·lipse, la taula dóna el cas d'un > b , per als quals l'eix major és horitzontal, per al cas invers, l'intercanvi dels símbols per i b Per a la hipèrbola l'oest a l'est. cas l'obertura es dóna. En tots els casos, a i b són positius.)

secció cònica	equació	excentricitat (e)	excentricitat lineal (c )	semi-latus rectum ( ℓ )	paràmetre focal ( p )
Cercle	<math>x^2+y^2=a^2 \,</math>	<math> 0 \,</math>	<math> 0 \,</math>	<math> a \,</math>	<math> \infty</math>
El·lipse	<math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1</math>	<math>\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}</math>	<math>\sqrt{a^2-b^2}</math>	<math>\frac{b^2}{a}</math>	<math>\frac{b^2}{\sqrt{a^2-b^2}}</math>
Paràbola	<math>y^2=4ax \,</math>	<math> 1 \,</math>	<math> a \, </math>	<math> 2a \,</math>	<math> 2a \, </math>
Hipèrbola	<math>\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1</math>	<math>\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}</math>	<math>\sqrt{a^2+b^2}</math>	<math>\frac{b^2}{a}</math>	<math>\frac{b^2}{\sqrt{a^2+b^2}}</math>

Visió geomètrica

Es pot demostrar que, donat un polinomi quadràtic, sempre és possible trobar un con, real o imaginari, amb una intersecció amb el pla que ve donada pel polinomi origen. En el cas real, és fàcil trobar les diferents possibilitats:

Si el pla no passa pel vèrtex del con, segons l'angle d'intersecció ens trobarem:
- El·lipse: una corba tancada. Un cas particular d'el·lipse és una circumferència si el pla de l'el·lipse és perpendicular a l'eix del con, és a dir, paral·lel a la base.
- Paràbola: una corba oberta.
- Hipèrbola: dues corbes obertes.
Si el pla passa pel vèrtex del con:
- Un punt
- Una recta
- Dues rectes.

Les còniques no són res més que un cas particular de quàdriques, com les projeccions d'una superfície cònica sobre el pla.

Forma canònica

L'anterior equació <math>(Ax^{2}+By^{2}+2Cxy)+(2Dx+2Ey)+F=0\,</math> la podem escriure de la forma matricial <math>X^\prime MX=0\,</math>

On: <math>X=\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}\,</math>

<math>M=\begin{pmatrix}A & C & D \\ C & B & E \\ D & E &F \end{pmatrix}\,</math>

Segons la forma canònica que adopti la matriu <math>M\,</math>, trobem les diferents solucions que tenen les còniques (<math>a,b,m\,</math> són valors reals, diferents de <math>0\,</math>):

<math>\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=-1\,</math>	el·lipse imaginària.
<math>\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\,</math>	el·lipse real.
<math>\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=0\,</math>	dues rectes imaginàries no paral·leles.
<math>\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\,</math>	hipèrbola.
<math>\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=0\,</math>	dues rectes reals no paral·leles.
<math>y=mx^{2}\,</math>	paràbola.
<math>a^{2}x^{2}=-1\,</math>	dues rectes imaginàries paral·leles.
<math>a^{2}x^{2}=1\,</math>	dues rectes reals paral·leles.
<math>mx^{2}=0\,</math>	dues rectes coincidents.
<math>x=0\,</math>	una recta real.

També existeix la possibilitat d'un conjunt buit i la de tot el pla.

Vegeu també

Teorema de Desargues per feixos de còniques.

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Cònica