Homomorfisme dual
Si <math>\varphi: M \longrightarrow N</math> és un homomorfisme entre dues estructures lineals (dos mòduls sobre el mateix anell o dos espais vectorials sobre el mateix cos <math>A</math>) hi ha un únic homomorfisme
|
<math> \varphi^{\ast}: N^{\ast} \longrightarrow M^{\ast} \,</math> |
entre les respectives estructures duals que compleix
|
<math> \langle m, \varphi^{\ast}(\nu) \rangle = \langle \varphi(m), \nu \rangle \,,\quad m \in M \,,\quad \nu \in N^{\ast} \,</math> |
Aquest homomorfisme, <math>\varphi^{\ast}</math>, és l'homomorfisme dual de l'homomorfisme <math>\varphi</math>.
Existència i unicitat
Existència
La relació
|
<math> \langle m, \varphi^{\ast}(\nu) \rangle = \langle \varphi(m), \nu \rangle \,,\quad m \in M \,,\quad \nu \in N^{\ast} \,</math> |
defineix efectivament una única forma lineal a <math>M^{\ast}</math>. En efecte, del fet que la forma bilineal canònica de <math>M \times M^{\ast}</math> és no degenerada en resulta que, si
|
<math> \forall m \in M \,,\, \langle m, \mu_1 \rangle = \langle m, \mu_2 \rangle = \langle \varphi(m), \nu \rangle \,,\quad \mu_{1}, \mu_{2} \in M^{\ast} \,,\quad \nu \in N^{\ast} \,</math> |
<math>\mu_{1} - \mu_{2}</math> pertany al subespai nul de la forma bilineal i, com que és no degenerada, és zero i <math>\mu_{1} = \mu_{2} = \varphi^{\ast}(\nu)</math>. La linealitat de la forma <math>\varphi^{\ast}(\nu)</math> és, també inmediata:
|
<math> \begin{align} \langle m, \varphi^{\ast}\left(\lambda_1\nu_1 + \lambda_2\nu_2\right) \rangle &= \langle \varphi(m), \lambda_1\nu_1 + \lambda_2\nu_2 \rangle = \lambda_1 \langle \varphi(m), \nu_1 \rangle + \lambda_2\langle \varphi(m), \nu_2 \rangle = \\ &= \lambda_1 \langle m, \varphi^{\ast}\left(\nu_1\right) \rangle + \lambda_2\langle m, \varphi\left(\nu_2\right) \rangle = \\ &= \langle m, \lambda_1 \varphi^{\ast}\left(\nu_1\right) + \lambda_2\varphi^{ast}\left(\nu_2\right) \rangle \,,\quad m \in M \,,\quad \nu_{1}, \nu_{2} \in N^{\ast} \,,\quad \lambda_{1}, \lambda_{2} \in A \end{align} \,</math> |
Unicitat
La mateixa argumentació, recolzada sobre la no degeneració de la forma bilineal canònica sobre <math>M \times M^{\ast}</math>, mostra la unicitat de l'homomorfisme dual: si
|
<math> \forall m \in M \,,\, \forall \nu \in N^{\ast} \,,\, \langle m, \varphi_{1}^{\ast}(\nu) \rangle = \langle m, \varphi_{2}^{\ast}(\nu) \rangle = \langle \varphi(m), \nu \rangle \,</math> |
resulta
|
<math> \forall m \in M \,,\, \forall \nu \in N^{\ast} \,,\, \langle m, \varphi_{1}^{\ast}(\nu) - \varphi_{2}^{\ast}(\nu) \rangle = 0 \,</math> |
és a dir,
|
<math> \forall \nu \in N^{\ast} \,,\, \varphi_{1}^{\ast}(\nu) - \varphi_{2}^{\ast}(\nu) = 0 \,</math> |
i <math>\varphi_{1}^{\ast} = \varphi_{2}^{\ast}</math>.
Propietats
Les següents propietats són inmediates
- <math>\left(\lambda \varphi + \mu \psi\right)^{\ast} = \lambda \varphi^{\ast} + \mu \psi^{\ast}\,,\quad \lambda, \mu \in A</math>
- <math>\left(\varphi \circ \psi\right)^{\ast} = \psi^{\ast} \circ \varphi^{\ast}</math>
Nuclis i imatges duals
Entre els nuclis i imatges d'homomorfismes duals en resulten les següents relacions de dualitat
|
<math> \left(\varphi(M)\right)^{\ast} = N^{\ast}/\ker \varphi^{\ast} \,</math> |
|
<math> \left(M/\ker \varphi\right)^{\ast} = \varphi^{\ast}\left(N^{\ast}\right) \,</math> |
perquè les dues formes bilineals
|
<math> \varphi(M) \times N^{\ast}/\ker \varphi^{\ast} \longrightarrow A \,</math> |
<math> M/\ker \varphi \times \varphi^{\ast}\left(N^{\ast}\right) \longrightarrow A \,</math> |
|
<math> \langle \varphi(m), \tilde{\nu} \rangle = \langle \varphi(m), \nu \rangle \,</math> |
<math> \langle \tilde{m}, \varphi^{\ast}(\nu) \rangle = \langle m, \varphi^{\ast}(\nu) \rangle \,</math> |
són no degenerades i, en conseqüència, tenen aquestes relacions de dualitat.
Aplicacions duals entre espais vectorials de dimensió finita
Si <math>M</math> i <math>N</math> són espais vectorials de dimensió finita, també ho són els duals <math>M^{\ast}</math> i <math>N^{\ast}</math> i els subespais <math>\ker \varphi</math>, <math>\varphi(M)</math>, <math>\ker \varphi^{\ast}</math>, <math>\varphi^{\ast}\left(N^{\ast}\right)</math> i, de les relacions de dualitat ja establertes, en resulta
|
<math> \dim M = \dim M^{\ast} \,</math> |
<math> \dim N = \dim N^{\ast} \,</math> |
|
<math> \dim \varphi(M) = \dim N^{\ast}/\ker\varphi^{\ast} \,</math> |
<math> \dim M/\ker\varphi = \varphi^{\ast}\left(N^{\ast}\right) \,</math> |
que, junt amb els isomorfismes
|
<math> M/\ker\varphi = \varphi(M) \,</math> |
<math> N^{\ast}/\ker\varphi^{\ast} = \varphi^{\ast}(N) \,</math> |
dóna
|
<math> \dim \varphi(M) = \dim \varphi^{\ast}\left(N^{\ast}\right) \,</math> |
i dues aplicacions duals, <math>\varphi</math> i <math>\varphi^{\ast}</math> tenen el mateix rang.
Matrius d'aplicacions duals
Si <math>M</math>, <math>M^{\ast}</math> i <math>N</math>, <math>N^{\ast}</math> són parelles duals d'espais vectorials de dimensió finita, <math>\varphi: M \longrightarrow N</math> i <math>\varphi^{\ast}: N^{\ast} \longrightarrow M^{\ast}</math> són dos homomorfismes duals i
|
<math> \mathcal{B}_M = \left\{u_1, u_2, \ldots u_m\right\} \,</math> |
<math> \mathcal{B}_{M^{\ast}} = \left\{u_1^{\ast}, u_2^{\ast}, \ldots u_m^{\ast}\right\} \,</math> |
|
<math> \mathcal{B}_N = \left\{v_1, v_2, \ldots u_n\right\} \,</math> |
<math> \mathcal{B}_{N^{\ast}} = \left\{v_1^{\ast}, v_2^{\ast}, \ldots v_n^{\ast}\right\} \,</math> |
en són les respectives bases i bases duals, la matriu de l'homomorfisme <math>\varphi</math> consisteix en les <math>m</math> columnes <math>\varphi(u_j)\,,\,j = 1, \ldots, m</math>, cadascuna amb <math>n</math> elements. De la definició de base dual en resulta que l'element de la fila <math>i</math> columna <math>j</math> d'aquesta matriu és:
|
<math> \varphi \quad \longleftrightarrow \quad \begin{pmatrix} \langle \varphi\left(u_j\right), v_i^{\ast} \rangle \end{pmatrix} \,</math> |
D'altra banda, si convenim en disposar els elements dels duals com a vectors fila, la matriu de l'homomorfisme dual <math>\varphi^{\ast}</math> consisteix en les <math>n</math> files <math>\varphi^{\ast}(v_i^{\ast})\,,\,i = 1, \ldots, n</math>, cadascuna amb <math>m</math> elements. De la definició de base dual en resulta que l'element de la fila <math>i</math> columna <math>j</math> d'aquesta matriu és:
|
<math> \varphi^{\ast} \quad \longleftrightarrow \quad \begin{pmatrix} \langle u_j, \varphi^{\ast}\left(v_i^{\ast}\right) \rangle \end{pmatrix} \,</math> |
i, com que <math>\langle \varphi\left(u_j\right), v_i^{\ast} \rangle = \langle u_j, \varphi^{\ast}\left(v_i^{\ast}\right) \rangle</math>, resulta que ambdues matrius són idèntiques. Però, si convenim en disposar els elements del dual com a vectors columna, aleshores una matriu és la matriu transposada de l'altra.
Això i que els rangs de <math>\varphi</math> i de <math>\varphi^{\ast}</math> són iguals mostra que, en una matriu, el rang per files i el rang per columnes és el mateix i es pot parlar, doncs, del rang d'una matriu.