Dodecàedre truncat

Dodecàedre truncat
Tipus	Políedre arquimedià
Cares	Triangles i decàgons
Elements :; · Cares; · Arestes; · Vèrtex; · Característica	; 32 (20 triangles i 12 decàgons); 90; 60; 2
Cares per vèrtex	3
Vèrtex per cara	3 i 10
Simetries	Ih
Dual	Icosàedre triakis
Propietats	Semi-regular i convex

En geometria, el dodecàedre truncat és un dels tretze políedres arquimedians, s'obté truncant els vint vèrtex de l'dodecàedre.

Té 32 cares, 12 de les quals són decagonals i 20 triangulars, 90 arestes i a cadascun dels seus 60 vèrtex i concorren dues cares decagonals i una triangular.

Àrea i volum

Les fórmules per calcular l'àrea A i el volum V d'un dodecàedre truncat tal que les seves arestes tenen longitud a són les següents:

<math>V=\begin{matrix}{5\over12}\end{matrix}(99+47\sqrt{5})a^3</math>

Esferes circumscrita, inscrita i tangent a les arestes

Els radis R, r i <math>\rho </math> de les esferes circumscrita, inscrita i tangent a les arestes respectivament són:

<math>\begin{align}

& R=\frac{a\sqrt{74+30\sqrt{5}}}{4} \\ 
& r=\frac{5a\left( 17\sqrt{2}+3\sqrt{10} \right)\sqrt{37+15\sqrt{5}}}{488} \\ 
& \rho =\frac{a\left( 5+3\sqrt{5} \right)}{4} \\

\end{align}</math>

On a és la longitud de les arestes.

Dualitat

El políedre dual del dodecàedre truncat és l'icosàedre triakis.

Desenvolupament pla

Simetries

El grup de simetria del dodecàedre truncat té 120 elements; el grup de les simetries que preserven les orientacions és el grup icosàedric <math> I \cong A_5 </math>. Son els mateixos grups de simetria que per l'icosàedre i pel dodecàedre.